Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Правила приближенных вычислений и округления результатов
|
|
Известно, что при измерениях физических величин получаются приближенные числовые значения. При этом приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные значащие цифры. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны. Поясним это с помощью табл. 1.
Таблица 1
Определение количества значащих цифр
| Приближенное число | Количество значащих цифр | Приближенное число | Количество значащих цифр |
| 3, 20 | |||
| 5 ∙ 103 | 3, 2 | ||
| 0, 0107 |
Например, значение 5000 г получаем при взвешивании тел с точностью до грамма, а 5 ∙ 103 г – при взвешивании с точностью до килограмма. Взвешивание в первом случае было произведено в 1000 раз точнее, чем во втором.
Аналогично число 3, 20 означает, что при измерении учитывались в сотые доли, а в числе 3, 2 – только десятые, т. е. точность в этом случае в 10 раз меньше. Так бывает, в частности, при измерениях микрометром и штангенциркулем.
При математических действиях приближенные числа округляют, если они содержат лишние значащие цифры. Покажем округление до n значащих цифр числа 6 705, 846 (табл. 2).
Таблица 2
Примеры округления
| Приближенное число | Количество значащих цифр | Приближенное число | Количество значащих цифр |
| 6 705, 85 | 671 ∙ 10 | ||
| 6 705, 8 | 67 ∙ 102 | ||
| 6 706 | 7 ∙ 103 |
Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую можно получить. Приведем правила, при соблюдении которых можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя в отдельных случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.
1. Если некоторые данные содержат больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.
Примеры
Вместо 1, 82 следует сложить 1, 82
+ 14, 367 3 + 14, 37
5, 8 5, 8
21, 987 3 21, 99
Вместо 83 937 ∙ 0, 4 = 33 577, 8 следует перемножить 84 ∙ 103 ∙ 0, 4 = 33, 6 ∙ 103.
2. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколькоих вчисле с наименьшим количеством десятичных знаков.
Пример
1, 82 + 14, 368 3 + 5, 8 = 1, 82 + 14, 37 + 5, 8 = 22, 0.
3. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством значащих цифр.
Примеры: 83 973 ∙ 0, 4 = 84 ∙ 103 ∙ 0, 4 = 33, 6 ∙ 103 = 3 ∙ 104.
.
4. При возведении в квадрат и клуб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
Примеры: 1, 322 = 1, 74; 3, 63 = 46.
5. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их в подкоренном приближенном числе.
Примеры: 
= 1, 89 ∙ 10-4; 
= 1, 61.
6. При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем рекомендуют правила. В окончательном результате эта " запасная" цифра отбрасывается.
Пример
.
В этом примере сомножитель 5, 1 имеет наименьшее количество значащих цифр (две). Поэтому и окончательный результат получился с двумя значащими цифрами.
Количество значащих цифр в результате, не может быть увеличено, а его точность не может быть повышена путем искусственного набирания знаков (неверных) при математических действиях. Погрешность результата определяется точностью измерительных приборов, тщательностью исходных прямых измерений.
В студенческой практике абсолютная ошибка окончательного результата округляется до одной значащей цифры, а сам результат до того разряда, в котором находится эта значащая цифра.