Сделать три итерации методом градиентного спуска из начальной точки в направлении экстремума.

Задание 1а).

Дано:

Аналитически отыскать безусловный экстремум функции (используя аппарат необходимых и достаточных условий).

Решение:

Запишем градиент функции:

Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:

Получена стационарная точка функции .

Составим матрицу Гессе:

Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке:

Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:

Так как диагональные миноры матрицы положительны, матрица Гессе является положительно-определенной , и, следовательно, точка является точкой локального минимума функции.

Ответ: функция f(X) имеет локальный безусловный минимум в точке с координатами .

Задание 1б).

Дано:

Сделать три итерации методом градиентного спуска из начальной точки в направлении экстремума.

Решение:

Найдем градиент функции:

Итерация 0

Итерация 1

Вычислим точку по формуле: . Зададим шаг

, следовательно, шаг выбран удачно.

Итерация 2

Вычислим точку по формуле: . Зададим шаг

, следовательно, шаг выбран удачно.

Итерация 3

Вычислим точку по формуле: . Зададим шаг

, следовательно, шаг выбран удачно.

Приведенные вычисления представим в виде таблицы

№	x	y	t				f
			-	-42		45.69464
	4.2	-1.8	0.1	-16.8	3.6	17.18139	-117.92
	5.88	-2.16	0.1	-6.72	0.72	6.75846	-138.4544
	6.552	-2.232	0.1	-2.688	0.144	2.69185	-141.64659