Математичні моделі: поняття, класифікація економіко-математичних моделей.

Дослідження операцій – науковий напрямок, метою якого є розробка методів аналізу цілеспрямованих дій (операцій) та об’єктивна (частіше кількісна) порівняльна оцінка рішень.

Предметом дослідження операцій є системи – взаємодіюча сукупність елементів, призначених для досягнення певної мети (або цілі).

Методом дослідження операцій є моделювання.

Моделювання – один із загально-наукових методів дослідження, що застосовується для аналізу та синтезу систем. Це спосіб дослідження, коли замість реального об’єкту вивчається його умовний образ – модель.

Модель – це умовний образ об’єкту чи процесу, який вивчається, та відображає його основні характеристики і використовується в ході дослідження.

Конструювання моделі на основі попереднього вивчення об’єкту, з’ясування його суттєвих характеристик, експериментальний та (або) теоретичний аналіз моделі, порівняння результатів з даними про об’єкт, коректування моделі складають зміст методу моделювання.

Припущенням відносно більшої доступності моделі для аналізу у порівнянні з реальним об’єктом є те, що моделювання, як правило, приводить до спрощенного образу об’єкта.

Існує багато підходів до класифікації моделей. В залежності від засобів моделювання моделі можна поділити на абстрактні (концептуальні) та матеріальні (фізичні). Математичні моделі відносяться до абстрактних. Математична модель – система математичних виразів, які описують характеристики об’єкта моделювання та взаємозв’язки між ними.

У підручнику розглядається математичне моделювання саме соціально-економічних систем та процесів.

Класифікацію самих економіко-математичних моделей можна робити за різними ознаками, основними з яких є:

1) за цільовим призначенням – теоретико-аналітичні та прикладні моделі;

2) за ступінню агрегованості об’єктів – макроекономічні (функціонування економіки як єдиного цілого) та мікроекономічні (підприємства, фірми) моделі;

3) за призначенням – балансові (відповідність між запасами, ресурсами та їх використанням), трендові (моделювання на основі вивчення тенденцій розвитку), оптимізаційні (вибір найкращого рішення), імітаційні (імітація поведінки об’єкту, який вивчається) моделі;

4) за характером інформації – детерміновані (на базі фіксованих значень вхідних даних) та стохастичні (вхідні дані є випадковими величинами) моделі;

5) за характеристикою математичного апарату – лінійного та нелінійного програмування, дискретного та стохастичного програмування, кореляційно-регресійні моделі, моделі теорії масового обслуговування, моделі сітьового планування та управління тощо;

6) за підходом до вивчення системи – дескриптивні та нормативні моделі.

Слід зазначити, що ефективне управління соціально-економічними системами не завжди зводиться до побудови економіко-математичних моделей та виконання відповідних обчислень. У процесі формування управлінських рішень інколи треба враховувати суттєві фактори, які не піддаються математичній формалізації, наприклад, деякі психологічні аспекти людського фактору, і тому – економіко-математичне моделювання є однією з важливих компонент системного аналізу, планування й ефективного управління економічними системами.

Успішне застосування дослідження операцій у теоретичних та практичних дослідженнях будь-яких систем, в тому числі соціально-економічних, можливе за умови існування чотирьох взаємозв’язуваних факторів:

- методів конструювання оптимізаційних моделей;

- методів розв’язування оптимізаційних задач;

- методів якісного, економіко-математичного аналізу;

- методів інформаційного забезпечення.

Таким чином, теорія дослідження операцій охоплює всі етапи дослідження систем:

- ідентифікація проблеми (формування проблеми, мети її розв’язання, виявлення умов та обмежень);

- побудова оптимізаційної моделі (встановлення математичних співвідношень між метою розв’язання проблеми та існуючими обмежуючими факторами);

- інформаційне наповнення моделі;

- знаходження розв’язку сформульованої задачі;

- аналіз моделі на чутливість щодо змін вхідних параметрів системи;

- перевірка адекватності моделі (модель можна вважати адекватною, якщо рішення, яке отримали на її основі, здатне достатньо надійно передбачити поведінку системи);

- реалізація отриманих та відповідним чином перевірених рішень для аналізу, планування або управління системою.

Математичні моделі, які вивчаються в теорії дослідження операцій, відносяться до нормативних, оптимізаційних.

Задачі та методи дослідження розбиваються на окремі класи в залежності від типу операцій та процесу, для аналізу яких вони використовуються. Тому курс „Дослідження операцій” складається з наступних розділів: математичне програмування, імітаційне моделювання, теорія ігор, теорія управління запасами, сітьове планування та теорія масового обслуговування.

В загальному вигляді оптимізаційна задача дослідження операцій полягає у знаходженні екстремума функції:

(1)

за умов

, (2)

Функція називається цільовою функцією і є критерієм якості управлінського рішення .

Умови задачі (2) називаються обмеженнями задачі і утворюють множину допустимих альтернативних управлінських рішень.

Оптимізаційні задачі дослідження операцій розв’язуються методами математичного програмування.

Математичне програмування – це розділ математики, який розробляє теорію та методи розв’язування екстремальних задач типу (1), (2).

Розв’язати задачу математичного програмування означає знайти таке з альтернативних рішень, яке б було найкращим з точки зору значення цільової функції.

В залежності від характеру математичної функції, всі задачі математичного програмування діляться на лінійні та нелінійні. Якщо цільова функція та функції обмежень задачі - лінійні, тоді задача (1)-(2) - задача лінійного програмування. В усіх інших випадках такі задачі будуть нелінійними.

В залежності від характеру змінних, задачі математичного програмування діляться на дискретні та неперервні.

Дискретними називаються задачі, в яких хоча б одна з змінних може набувати лише дискретних значень. Окремий клас дискретних задач становлять задачі, в яких змінні набувають цілочисельних значень. Такі задачі називаються задачами цілочисельного програмування. Якщо змінні можуть набувати будь-яких значень на певних інтервалах, тоді такі задачі називаються неперевними.

В залежності від характеру вхідних даних задачі математичного програмування діляться на детерміновані та стохастичні.

При побудові детермінованих моделей вважається, що для дослідження економічних систем чи процесів випадкові події не відіграють істотної ролі і вхідні дані точно визначені. У протилежному випадку математична модель має враховувати випадковий характер вхідних даних у вигляді функції розподілу. Така оптимізаційна задача відноситься до стохастичних.

Окремий тип задач складають динамічні задачі. У таких задачах вдається для кожної змінної сформулювати локальну оптимізаційну задачу, в результаті розв’язування якої, знаходиться значення відповідної змінної, найкраще з точки зору всієї задачі.

Таким чином, математичне програмування, як теорія методів розв’язування екстремальних задач виду (1) – (2), в залежності від типу задач поділяється на наступні підрозділи:

- лінійне програмування;

- нелінійне програмування;

- дискретне програмування;

- динамічне програмування;

- стохастичне програмування.

Дослідження соціально-економічних об’єктів та процесів методом моделювання передбачає їх математичну формалізацію – побудову математичної моделі. Побудова математичної моделі здійснюється на другому етапі дослідження операцій після визначення на змістовному рівні мети дослідження, а також набору показників, які достатньо повно характеризують об’єкт або процес.

Процедура побудови математичних моделей є загальною для всіх задач математичного програмування і складається з таких кроків:

- ідентифікація керованих змінних;

- запис цільової функції через змінні задачі;

- запис обмежень через змінні задачі.

Розглянемо приклад побудови задач математичного програмування.

Завод виробляє мінеральну воду у пляшках по півлітра, одному, півтора та два літри. Виробництво обмежено запасом мінеральної води на заводі – 10 т, а також виробничими потужностями обладнання, яке дозволяє щодня випускати не більше 5 тис. пляшок. Прибуток від реалізації кожної півлітрової пляшки мінеральної води складає 20 коп., однолітрової – 18 коп., півторалітрової – 16 коп. та дволітрової – 15 коп. Скільки пляшок мінеральної води має щодня виробляти завод з точки зору максимізації прибутку.

Визначимо змінні задачі. В результаті розв’язання задачі повинно бути прийняте рішення щодо виробництва кожного виду пляшок. Тоді змінні задачі – кількість пляшок певного виду: - кількість півлітрових пляшок, - кількість однолітрових, - півторалітрових, - дволітрових.

План виробництва мінеральної води буде тим кращим, чим більший прибуток він буде забезпечувати. Тому цільова функція через змінні задачі визначаються як

0, 2 + 0, 18 + 0, 16 + 0, 15

і означає величину прибутку, яку треба максимізувати. Але як завгодно великий прибуток від реалізації мінеральної води завод отримати не може, тому що при визначенні плану необхідно враховувати умови виробництва. Однією з таких умов є запас мінеральної води. Через змінні задачі витрати мінеральної води описуються як

0, 5 + + 1, 5 + 2 .

Максимальна кількість розлитої у пляшки мінеральної води не повинна перевищувати 10 т, тому перше обмеження задачі має вигляд:

0, 5 + + 1, 5 + 2 10000.

Другою умовою – є виробничі потужності обладнання, які не дозволяють щодня випускати більше 5 тис. пляшок. Тому друге обмеження задачі –

5000.