Задача №4. Решить систему линейных уравнений:

Решить систему линейных уравнений:

методом Гаусса.

Решение:

Исключим из последних двух уравнений . Для этого умножим первое уравнение на и результаты прибавим ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на и результаты прибавим соответственно к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

Разделив обе части второго уравнения системы на , получим систему

Теперь исключим из третьего уравнения системы переменную . Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему:

Откуда , , .

Приведение данной системы к ступенчатому виду практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы.

Пусть - матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Она называется матрицей системы. Если к матрице присоединить столбец свободных членов, то полученная матрица называется расширенной матрицей системы.

Для удобства столбец свободных членов расширенной матрицей системы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид:

.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , а к третьей строке прибавим первую, умноженную на . Получим эквивалентную исходной матрицу

.

Разделив элементы второй строки на , получим

.

Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на , получим матрицу

,

которая соответствует виду данной системы.