Начисление сложных %.

Если начисл %-тыне выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к ∑ долга (ссуды, депозиты и т.д.), то мы приходим к понятию сложных %, в рамках такой схемы, база для начисления % все время увеличивается, ∑ начисленных №, все время увеличивается, процесс начисления %, идет с ускорением (в том же смысле, что и в физике). Процесс наращения по сложным % можно рассматривать как последовательное реинвестирование по простым % (см. выше) в рамках неинвестирования. Присоединение начисленных % к ∑, кот послужила базой для их начисления, называется – капитализация процентов.

Таким образом можно сказать6 что проет. % не предполагает капитализацию найдем простейшую формулу для расчета наращенной ∑ для сложных %:

Предположим, что % нчисляются 1 раз в год, годовая ставка i, n – годы, P –начальная ∑, S – итоговая ∑ (наращенная).

По прошествии года мы имеем к концу первого года

Р+Рi – к концу первого года

Р+Рi=Р(1+i)

К концу второго года:

Р+Рi+(P+Pi)i

P(1+i)+P(1+i)(1+i)=P(1+i)² - к концу 2го года

Далее используем метод мат индукции, не трудно доказать6 что рассматривая процесс наращения (метод мат индукции) к концу n-го года приведет к ∑ (наращенной) Р(1+i)^n=S.

По аналогии со ссхемой простых % величина (1+i)^n - множитель наращения, по схеме сложных %

Р(1+ni)=S – простые %

(1+ni) – множитель простых %

Нам потребуется выражение лет, по схеме сложных %.

I=S-H=H(1+i)^n-P=P[(1+i)^n-1] – величина начисленных % за n лет

Величина % начисленных на % за n лет. (Ip) – проценты начисляемые на проценты

Ip=I-Pin=P{[(1+i)^n-1]-in}=P[(1+i)^n-(1+in)]

I – проценты

Pin – проценты начисленные только на исходную ∑ за n лет.

Важность формулы определяется тем, что иногда ставки наращения по схеме сложных % для исходной ∑ и начислением % различаются. Очень важно уметь различать %.

Мы видим, что процесс наращения по схеме сложных % соответствует геометрической прогрессии.

Первый член кот есть начальная ∑, знаменатель, есть ∑ наращения на конец n-го года P(1+i)^n, таким образом для анализа наращения по схеме сложных %, имея формулы описывающие геометрическую прогрессию.

Пример:

Начальная ∑ (Р)=1 млн уе

n=5 лет

при ежегодной ставке (общ)=15, 5%

Найти величину долга через 5 лет.

Схема сложных процентов.

S=1 млн(1+0, 155)⁵ =2.055.464.22 уе

Заметим, что пример показывает о удвоении начальной ∑ (рассмотрим позднее)

Обратим внимание, что поскольку наращенная ∑ зависит не только от начальной ∑ по и от множителя наращения, а множитель наращения зависит от годовой ставки и количества лет, то возможны ситуации, когда при малой ставке и большом количестве лет, величина наращенной ∑ получается неожиданно большой.

Рассмотрим вопрос наращения по схеме сложных %, когда годовые ставки на начальную мт на % на %.

Р – начальная ∑

i- годовая ставка для начисления % на начальную ∑

r – годовая ставка % начисленных на %

Рассмотрим процесс вывода итоговой формулы, таким образом:

Имея ∑ Р к концу 1 года

(Р+Рi)=P(1+i)

к концу 2 года

P+Pi+Pi+Pir=P(1+i)+Pi(1+r)

К концу 3 года

P(1+i)+Pi(1+R)+Pi+[Pi+Pi+Pir]*r=P(1+i)+Pi(1+r)+Pi+Pi[1+1+r]r=P+Pi+Pi[1+(1+r)](1+r)=P+Pi[1+(1+r)+(1+r)² ]

Используя метод мат индукции можно доазать, что наращенная ∑ к концу n-го года будет иметь вид

P+Pi[1+(1+r)+(1+r)² +…+(1+r)^n-1]=S

Лекция 10.11.11.

∑ их известна, в начале имеется исходная ∑ Р, имеется % ставка, схема сложных %, указать базовую формулу, по кот можно отдельно вычислить %.