Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Номинальная и эффективная ставка. ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Очень часто % начисляются не 1 раз в году, а по истечении меньших промежутков времени: по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. При этом в соответствии с финансовым документом (контрактом, договором) указывается, что используется такая то годовая % ставка с такой то периодичностью начисления и капитализацией %. Для этой ситуации годовую % ставку обозначим «j» - ставка при которой % начисляются чаще 1 раза в год, а «m» - количество раз в году, когда начисляется и капитализируется ставка. Ставка j – называется номинальной ставкой (годовая) m – количество периодов В соответствии с формулой сложных %: S=P(1+j/m)^m - ∑ наращения за 1 год m=2 - полугодие m=4 - квартал m=12 – месяцы Если нас интересует больше года, то: S=P(1+j/m)^m*n – за n лет Интуитивно понтяно6 что при увеличении m, при одной и той же номинальной ставке, наращенная ∑ - возрастает. Для вычисления наращенной ∑, можно воспользоваться таблицами множителей наращения для схемы сложных %, кот упоминали при рассмотрении формулы S=P(1+i)^n Пример: Номинальная ставка = 20%(j) n=10 лет 1)Ежегодные начисления (m=1) тогда: j/m=20%, тогда (1+0, 2)^10=6, 1917 (можно найти по таблице) 2)полугодовые начисления (m=2) Тогда j/m=10% (1+0, 1)^20=6, 7275 Если мы фиксируем ставку, то ∑ наращения растет (т.к. увеличивается множитель наращения) 3)поквартальное начисление (m=4) j/m=5% (1+0, 05)^40=7, 04 Можно убедится в математически и числено, что имеется сходимость к определеному пределу, кот мы рассмотрим позже непрерывное начисление %. Имеется рост, множитель наращения увеличивается (1)6, 19; 2)6, 73; 3)7, 04) m→ ∞ (непрерывное начисление %) 4)m=365 множитель наращения = 7, 39 1, 2, 3 – практические схемы (квартал, месяц) 4, … - анализ деятельности (день, час) Рассмотрим новые понятия, кот являются важными, для описания операций с номинальной ставкой. Эффективная ставка.(i)(действительная) По определению эффективная ставка называется – годовая ставка сложных %, кот дает тот же самый финансовый результат (ту же самую наращенную ∑), что и номинальная ставка при заданном количестве начислений за год. Таким образом нужно, найти: сравнить множители наращения Ставка i (1+i)^n = (1+j/m)m*n S=P(1+i)^n Множители наращения должны быть равны Следовательно: можно найти i(j) Нужно извлечь корень «n-ой» степени : 1+i=(1+j/m)^m − (1+j/m)^n – выражение связывающее эффективную и номинальную ставки : I=(1+0^25/12)^12-1=((1, 021)^2)-1=1, 281-1=0, 281=28% Мы видим, что размер эффективной ставки превышает размер номинальной ставки (i> j) в данном случае. 28%> 25% Мы получили в примере, что эффективная ставка привышает номинальную ставку, в рассмотренном примере номинальная ставка предполагает ежегодное начисление %, а эффективная ставка ежемесячное начисление. Общая закономерность соотношения эффективной и номинальной ставки. (1+j/m)^m=1+j+A Где А> 0 (ряд тейлора) (+) Разложение ряда тейлора. I=1+j+A-1=j+A i> j –важный математический факт эффективная ставка в схеме наращения сложных % превосходит номинальную ставку при многократном наращении сложных % (m≥ 2). Данное соотношения важно правильно учитывать и интерпретировать, при составлении финансовой документации, четко понимая о какой ставке идет речь. Применительно к примеру, эквивалентным были бы следующие 2 формулировки: 1)номинальная ставка 25% по помесячному начислению % и капитализации 2)эффективная (годовая) ставка 28, 1% Указать в тексте номинальной ставки = 25%, является некорректной (без указания периодичности) Вренемся к соотношению: (1+i)^n=(1+j/m)^m*n (i(j)) Найдем как выражается номинальная ставка через эффективную ставку. : =1+j/m j=( При рассмотрении схемы простых %, мы рассматривали прямые и обратные задачи, при чем для ставки наращения и для учетной ставки, давайте придерживаться методики (методологии) рассмотренной позднее. Ставка наращения (простые %) 1)S=P(1+ni) ➘ прямая задача 2)S=P(1+i)^n ➚ Обратная задача (задача дисконтирования) 1)P=S/1+ni 2)P=S/(1+i)^n Дисконтирование по схеме сложных %. Введем обозначения =(1+i)^-n – дисконтирующий множитель, при использовании ставки i сложных %. P=S , S-P – называется дисконт (Д) Д=S(1- ) – выражение дисконта при проведении дисконтирования по схеме сложных % с дисконтирующим множителем , обратим внимание, что выражение имеет сходство с выражением, кот мы получили при дисконтировании по сложной учетной ставке. Полученные формулы предпологают использвоание при вычислениях эффективной ставки «i», если мы будем использовать номинальную ставку «j», то выражение для ν изменится следующим образом: ν =1/(1+j/m)^m=(1+j/m)^-m ν =(1+j/m)^-m*n Пример: Σ S=5 млн выплачивается через 5 лет (n=5 ktn) Р-?, определить и современную стоимость, имея эффективную ставку сложных %=10%. P=S =5 млн =
Лекция 17.11.11 Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные %. Непрерывное начисление % в практике финансовых расчетов используется прежде всего в целях анализа финансовых операций, а не как практическая финансовая операция. Например в рамках такого рассмотрения можно проанализировать эффект от использования изменяющейся по определенному закону во времени % ставки. При непрерывном начислении % рассматривается особый вид % ставки, кот называется – сила роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращения Σ за бесконечно малый интервал времени (аналог понятия производной) Сила роста: -постоянная -переменная Постоянная сила роста. Началом анализа будет формула для номинальной ставки. S= (получение наращенной Σ S из начальной Σ Р при начислении %, m раз в году по номинальной ставке j в течение n лет) Рассмотрим формулу при непрерывном начислении %. m→ ∞ S= =P = = δ – дельта, через нее принято обозначать коммерческую ставку при бесконечном количестве начисления % в году, т.е. так называемую - силу роста, последняя фраза является определением понятия сила роста. Давайте вспомним, мы рассматривали соотношение между номинально и эффективной ставкой. Найдем обычную годовую ставку сложных %, кот дает равный результат, что и сила роста. S= -обычная S= – сила роста Приравняем множитель наращения nln(1+i)= δ n δ =ln(1+i) =1+i Пример: Σ =2 млн, начисление непрерывных %, при силе роста=10%, n=5 лет Найдем наращенную Σ. S=2 млн =3.298.000 = = =1, 649 Найдем по силе роста годовую ставку. i= =0, 1051 С помощью таблицы натуральных логарифмов легко находится значение = 0, 1051 i=10, 52% Чем чаще начисляем %, при малой % ставке можно получить больший результат. Годовая ставка получилась больше чем сила роста, что естественно, т.к. при меньшей ставке за счет более частого начисления сложных % (капитализация) можно получить тот же результат, что и при большей ставке, но меньшей капитализации %. Рассмотрим при использовании ставки = 10, 52%. S= 2млн =3.298.000 Таким образом мы убедились что: = S= – формула наращения Р= – формула дисконтирования - множитель наращения – множитель дисконтирования Переменная сила роста. δ t=f(t) – синонимы Функция времени рассматривается как линейная функция (δ +at) изменение силы роста, а – прирост силы роста в единицу времени Он рассматривается при линейной функции а=const Рассмотрим прирост силы роста. На основании понятий определенного интеграла, наращение по сложным %, предела для случая переменной силы роста можно записать соотношение: В анализе возникло понятие определенного интеграла за счет предельного перехода к интегральной Σ, где № капитализируются в конце каждого отрезка, кот в совокупности составляет интервал интегрирования. Найдем интервал: Запишем в явном виде множитель наращения при начислении непрерывных % с с линейной силой роста. - множитель наращения при начислении непрерывных % с линейной по времени силой роста Пример: Сила роста (δ) = 8%, ставка непрерывных % и множитель изменяется, при чем прирост за год = 2%, срок наращения(n)=5 лет Найдем множитель наращения: Рассмотрим другую временную зависимость, когда прирост силы роста не постоянен. Пример: δ t=δ * - c течением времени прирост силы роста в единицу времени увеличивается Данная закономерность соответствует понятию ускорения в физике. а – темп прироста силы роста В предыдущем случае темп прироста силы роста был=0. Используем поученную формулу для определения срока ссуды n(δ) в зависимости от силы роста S= Длительность ссуды определяется из квадратного уравнения, параметры кот определяют силу роста(δ), прирост силы роста(а), начальную Σ (Р) и конечную Σ (S). Финансовые потоки (потоки платежей) До сих пор, при начислении % мы рассматривали взаимосвязь начальной Σ и конечной Σ. Р⇆ S Количество платежей было=1, однако при рассмотрении учета неопределенности, с помощью анализа чувствительности, в рамках, кот в теч. 5 лет, поступали платежи (1 платеж в год). Определение: Периодическое поступление доходов от инвестиций, периодическая выплата пенсий, погашение задолжности, другие виды последовательных во времени платежей – называется потоками платежей, при этом отдельные платежи образующие поток – называются членами потока. Потоки платежей: -регулярные -нерегулярные Под регулярными - понимаются потоки в кот размеры членов потока и интервалы времени между ними подчиняются определенным законам, а если они не подчиняются этим законам – нерегулярные. Члены потока могут быть положительными – поступления или же отрицательными – выплаты. Поток в кот все члены положительны, интервал между членами одинаковый – финансовая рента.
Лекция 24.11.11. Прямой (посредственный) метод расчета наращенной ∑ и современной стоимости потока платежей. Поток платежей – это последовательность платежей во времени.
Rt – член ренты Nt – момент совершения платежей Запишем исходя из соотношений, как выглядит наращенная ∑ такого потоа, если наращение производится по схеме сложных %, % начисляются 1 раз в году, годовая ставка (i).
Найдем соотношение между наращенной ∑ и начальной стоимостью.
Обратим внимание на то, что начальная стоимость и наращенная ∑ при годовой % ставке (i) при начислении сложных % 1 раз в году при процентной теории: S= Такая же формула справедлива для потока платежей. Использование формулы для определения текущей стоимости потока платежей = 30.120.000. Если проверить правильность результатов по формуле в рамке или по формуле S= = , то получим правильные ответы. Наращенная ∑ постоянной ренты постнумерандо. Постоянная – это рента в которой все члены одинаковы. Постнумерандо – платеж происходит в конце периода. Рассмотрим поток платежей в конце каждого года в банк вносится одна и таже ∑, по схеме сложных %, при ежегодном начислении %, при годовой ставке i, и продолжительностью n лет.
Лекция 01.12.11. Постоянная р-срочная рента постнумерандо с однократным начислением сложных % 1 раз в году.
Выпишем члены возникновения здесь в геометрической прогрессии с учетом начисления %. (с конца срока ренты). R/P – начисления % нет (последний платеж) R/P(1+i)^1/p – предпоследний платеж R/P(1+i)^2 - предпредпоследний платеж … Первый платеж в течение последнего года срока ренты: … К концу срока ренты первый платеж первого года: np – членов в этой прогрессии (1+i)^1/p – знаменатель этой прогрессии Формула для ∑ членов такой прогрессии:
Если бы количество платежей в течение года совпадало с количеством раз начисления % (сложных) в течение года и совпадали бы их моменты времени, то тогда для коэффициента наращения мы могли бы воспользоваться стандартной таблицей(7 в книге Четыркина). Пример: В предыдущем примере рассмотрим ежеквартальное поступление платежей, каждый из которых = 1 млн, остальные параметры –//–7 Р=4 млн R/P=1 млн np=5*4 = 20
Результат получается чуть больше. В случае р-срочной ренты6 когда количество начисляемых % совпадает с количеством платежей в течение года и моменты времени их совпадают. Для соотношений, вспомним: Формула для 1 случая – S=R*(((1+i)^n)-1)/i), количество периодов = количеству лет. Заменим годы n: =np – количество периодов Параметру n присвоим значение количество периодов. i=j/m R=R/P P=m Перепишем формулу с новыми обозначениями: S=
Лекция 08.12.11. 46) Зависимость между наращенной и приведенной стоимостью ренты. А – приведенная или современная стоимость S - ∑ наращения или ∑ наращения i - % ставка n – количство лет – наращение = - дисконт ν =1/(1+i) Обратим внимание на соответствующее положение коэффициента приведения и наращения. Коэффициент наращения – это наращенная ∑ ренты6 каждый член кот = 1. Коэффициент приведения – это современная стоимость ренты, каждый слен кот = 1. Соотношение между коэффициентами должны быть: Совр ст-ть (an; i ) наращ. ∑ (& n; i) an; i =& n; i an; i=& n; i Для ренты каждый член кот = 1, это наращенная Σ и приведенная стоимость.
47) Определение члена ренты. S=R& n; i A=Ran; i R=S/& n; i (1) R=A/an; i (2) (1) – определяет размер годового платежа, если нужно за n лет накопить Σ S, при годовой ставке i. (2) – определяется размер годового платежа если нужно за n лет при годовой ставке i, погасить долг А (t=0).
48) Определение срока ренты. S=R& n; i A=Ran; i & n; i= S=R an; i= (S/R)*i+1 n= =nln(1+i) n= A= Комментарий: 1)Использование формул удобно, если нам заданы коэффициенты: S/R=& n; i A/R=an; i 2)Если во 2ой ситуации имеет место Аi=R, то в формуле возникает неопределенность (n→ ∞) размер годового платежа = ∑ годовых %, то ⇒ долг погасить невозможно за отведенное время, должно быть Ai< R.
49) Определение размера % ставки. & n; i= an; i= Из формулы коэффициента наращения и приведения, видно7 что зависимость их от % ставки не меняется и довольно сложная. (то есть соотношение нельзя разрешить аналитически, относительно i), поэтому используем линейное приближение, исходя из следующего: Коэффициент наращения увеличивается при увеличении % ставки (при постоянном n) Рис1.
Полученная формула используется: Предположим нам задано значение коэффициента &, тогда по таблице коэффициент наращения, мы находим значение коэффициента & (1), кот чуть меньше чем значение &, и значение & (2), кот чуть больше значения & и соответствующие этим значениям % ставки i1, i2. Пример: Предположим мы хотим сформирвоать в теч 7 лет, путем ежегодных взносов постнумерандо по 100 млн, в размере 1 млнд. Какой должна быть % ставка?
Весьма высока (стоимость).
50)Другие виды % ставок. Рента пренумерандо. Вспоминая определение ренты пренумерандо (платеж в начале периода) становится ясно, что каждый платеж приносит % на 1 период больше, чем в ренте постнумерандо Ŝ =S(1+i) ~ & n; i=& n; i(1+i) Т.к. каждый платеж ренты пренумерандо нужно дисконтировать меньше на 1 раз; Если имеется рента в кот платежи поступают в середине периода, то приведенная стоимость А1/2= a∞; i=1/i=ln an; i А∞ =R* a∞; i=R/i Может возникнуть вопрос о современной цене, выкупа вечной ренты. R=1; i=0, 2; цена ее выкупа: A∞ =1/0, 2=5
|