Пример составления уравнений движения машины

Рассмотрим один из вариантов задания типового расчёта по динамике машины с кулисным приводом (условимся считать его 31-м вариантом). Пусть,, а кинематическая схема машины соответствует изображённой на рис.15, а.

В данном варианте момент двигателя приложен к шкиву 3, связанному с маховиком ременной передачей. Полезная нагрузка моделируется силой, приложенной к точке штока 5.

:;;;;;;;;;;;;;;;.

Предполагается, что ремень невесомый, нерастяжимый, не прос­кальзы­вающий относительно шкива и маховика. Каток 4 относительно рейки штока 5 и неподвижной рей­ки не проскальзывает (зубчатая ре­ечная передача). Масса штока не учитывается.

Рис. 15. Схема машины с кулисным приводом (вариант 31)

: Составить уравнения движе­ния машины в форме урав­нений Лагранжа 2-го рода. Записать уравнения движения в форме Коши. При заданных начальных условиях численно проинтегрировать уравнения движения на отрезке,. Построить графики,,. Для момента времени, когда принимает мак­симальное по модулю значение, вы­числить разность сил натяжения ве­дущей и ведомой ветвей ременной передачи.

Приступаем к составлению уравнений движения машины. Будем придерживаться той последовательности действий, которая изложена в п.4 раздела 1.

1.Составим выражение для кинетической энергии механической системы, указав вид движения каждого тела и выразив коэффициенты через исходные данные.

.

Здесь мы учли, что маховик 1 и шкив 3 совершают вращательное движение вокруг неподвижных осей, кулиса 2 движется поступательно, а для ступенчатого катка 4 имеет место общий случай плоского движения, после чего воспользовались формулами (15) (кинетическая же энергия безынерционного штока 5 равна нулю). При вычислении моментов инерции было учтено, что шкив 3 – однородный диск, для маховика 1 момент инерции задан, а для ступенчатого катка 4 известен радиус инерции.

2.Составим выражение для обобщённой силы и раскроем скалярные произведения.

Воспользуемся формулой (17) и заметим, что в нашей задаче к числу активных сил и моментов относятся момент, сила и силы тяжести.

,,,

,,,

.

В проделанных выкладках мы учли следующее. Векторы скоростей неподвижных точек и равны нулю (соответствующие же передаточные функции отличаются от скоростей лишь скалярным множителем и, значит, тоже равны нулю). Вместо и мы подставили конкретные выражения из (58), (59).

Подчеркнём, что к концу данного пункта в наших формулах уже больше не должны фигурировать обозначения и.

Поскольку кулиса 2 движется поступательно, то все её точки имеют одинаковые скорости; поэтому вместо передаточной функции линейной скорости цент­ра масс кулисы (где приложена сила тяжести) мы воспользовались передаточной функцией линейной скорости точки.

Раскрывая скалярные произведения, мы учли, что векторы и направлены параллельно оси (так что их проекции на ось равны нулю).

3.Выберем обобщённую координату и выясним кинематический смысл:

Выбор обобщённой координаты в данной задаче был предписан условием задачи. Поскольку – это угол поворота маховика 1, то производная от этой обобщённой координаты равна проекции угловой скорости маховика на ось.

Теперь надо выразить все линейные и угловые скорости, входящие в фор­мулы из пунктов 1 и 2 нашего алгоритма, через обобщённую скорость. Заметим, что эти скорости либо непосредственно входят в данные формулы, либо представлены передаточными функциями.

4.Выразим линейные и угловые скорости, входящие в выражения для и, через.

Первое нужное нам выражение сразу же следует из результатов пункта 3:

.

Кинематический граф

позволяет записать соотношение

,

откуда, учитывая, что, получаем:

.

Так как кулиса 2 движется поступательно и её перемещение вдоль оси равно перемещению точки вдоль этой оси, то

,.

Заметим, что перемещение точки вдоль оси никак не сказывается на движении кулисы, точки которой движутся только вдоль оси. Поэтому было бы грубой ошибкой записать, что.

После этого из графа

OB → D H

найдём:

,

откуда

,.

Для нахождения угловой скорости ступенчатого катка 4 воспользуемся тем, что его точка – это точка контакта с неподвижной стенкой, причём качение происходит без проскальзывания; поэтому.

Граф

C K

даёт:

,

откуда

. (8)

,.