Реши сам. 1. Весной Степан ввиду отсутствия моста добирается в школу или пешком в обход водоёма, или на лодке

1. Весной Степан ввиду отсутствия моста добирается в школу или пешком в обход водоёма, или на лодке. Если туда и обратно он добирается на лодке, то на дорогу он затрачивает 20 мин. Если же в одну сторону он добирается на лодке, а в другую – пешком, то на дорогу у него уходит 70 мин. Сколько минут необходимо Степану, чтобы добраться в школу и обратно пешком?

2. По столбу высотой 10 м взбирается улитка. Ночью она поднимается на 5 м, а днём опускается на 4 м. На какие сутки после начала движения улитка достигнет вершины столба?

3. Из 6 кг сахарного тростника выходит в среднем 5 кг сока, из 52 кг сока вырабатывается 4 кг сахара. Сколько сахарного тростника понадобится, чтобы получить: 60 кг сахара; б) 70 кг сахара; в) 600 кг сахара?

4. Для награждения победителей математической олимпиады школа купила 30 книг по 800 руб. и по 1000 руб. – всего на 26 600 руб. Каких книг купили больше – более дорогих или более дешёвых – и на сколько?

Ответы на вопросы к задачам

Задача 1. 1) 120 мин; 2) нет; 3) 210 мин.

Задача 2. 1а) Нет; 1б) да; 1в) да; 2) 16 м; 3) 12 м.

Задача 3. 1) 16 кг; 2) нет; 3) три.

Задача 4. 1) 20 руб.; 2) да; 3) 50 руб., 95 руб.

Ответы к заданиям «Проверь себя»

1.Г. 2.Г. 3.А. 4.Б.

Ответы и указания к заданиям «Реши сам»

1. 120 мин. Найдите, сколько минут затрачивает Степан в одну сторону, передвигаясь на лодке.

2. На 6-е сутки. Вычислите, на сколько метров поднимается улитка за сутки и через сколько суток она окажется на высоте, с которой сможет достичь вершины за следующую ночь.

3. а) 936 кг; б) 1092 кг; в) 9360 кг. Найдите вначале, сколько понадобится сока на выработку 1 кг, а затем на заданное число кг сахара. Далее, учитывая, что все заданные массы сахара делятся на 5, найдите массы необходимого тростника.

4. Более дешёвых, на 4. Воспользуйтесь методом уравнивания, рассмотренным в решении задачи 4. Предположите, например, что все книги стоили по 1000 руб.

Анализ данных и планирование действий

Математика помогает планировать работу, выбирать наилучший план её выполнения, находить пути получения нужного результата, принимать правильные и справедливые решения.

Задача 1.Родителям маленького Серёжи предстоит выполнить три домашние работы:

1) пропылесосить ковры (на это требуется
40 мин, у них имеется 1 пылесос);

2) подрезать деревья в саду (на это требуется
40 мин, у них имеется одни ножницы);

3) накормить и уложить спать Серёжу
(на это требуется 40 мин).

Любую из этих работ может выполнять каждый из родителей. Как распределить эту работу между родителями, чтобы завершить её в кратчайшее время?

Анализируем. В задаче требуется так спланировать работу родителей Серёжи, чтобы она была выполнена в кратчайшее время. Если удастся спланировать работу родителей так, что они начнут и закончат работу одновременно, то время её выполнения будет кратчайшим.

Понятно, что если кто-то из родителей будет выполнять какую-то работу от начала до конца, то это требование выполняться не будет. Например, если работу 1) будет выполнять один из родителей, а работу 2) – другой, то при выполнении работы 3) один из родителей не будет занят. Поэтому ясно, что некоторые, а может быть и все работы нужно делить между родителями. Таким образом, нужно разделить каждый вид работы на части так, стобы оба родителя были заняты одновременно.

Решаем.План действий:

- в течение 20 мин один из родителей пылесосит ковры, а другой – подрезает деревья;

- в течение следующих 20 мин один из родителей заканчивает пылесосить ковры, а другой – занимается Сергеем;

- в течение следующих 20 мин один из родителей заканчивает подрезать деревья, а другой – занимается Сергеем.

Всего понадобится 60 мин. Так как каждый родитель был занят всё время, то найденное время является кратчайшим. ■

1. Существует ли другой план действий?

2. Уменьшится ли время на выполнение работ, если садовых ножниц имеется пара?

Задача 2. В ящике лежат 100 чёрных и 100 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара: а) одного цвета; б) белого цвета?

Анализируем.Здесь совокупность шаров в коробке состоит из двух групп: чёрных и белых. Известны количества шаров каждого цвета.

В задании а) требуется найти наименьшее количество шаров, которое нужно извлечь, не заглядывая в ящик, чтобы среди них оказалось 2 шара одного цвета. Так как количество шаров одного цвета, которые должны быть среди извлечённых, совпадает с количеством различных цветов в ящике, то понятно, что недостаточно извлечь два шара.

В задании б) требуется, чтобы среди извлечённых обязательно были 2 белых шара. Ясно, что недостаточно извлечь 100 шаров: они все могут оказаться чёрного цвета. Количество извлечённых шаров должно превосходить количество шаров той группы, к которой не принадлежат белые шары.

Решаем.а) Извлечение 2 шаров не обязательно приведёт к наличию двух шаров одного цвета: они могут оказаться различных цветов. Но добавление одного шара обязательно приведёт к наличию 2-х шаров одного цвета. Итак, достаточно извлечь 3 шара.

б) Ясно, что извлечение 100 шаров недостаточно для получения 2-х белых шаров. Недостаточно и извлечение 101 шара: среди них может оказаться 100 чёрных и только один белый. Надо извлечь 100 + 2 = 102 шара. Среди них обязательно окажется 2 белых. ■

Ответ.а) 3; б) 102.

1. Какое наименьшее количество шаров понадобилось бы вытащить, если бы в ящике было по 1000 шаров каждого цвета?

2. Какое наименьшее количество шаров понадобилось бы вытащить, чтобы среди них наверняка было бы 3 шара одного цвета?

3. Какое наименьшее количество шаров понадобилось бы вытащить, чтобы среди них наверняка было бы 5 шаров белого цвета?

Задача 3.У Тараса было 5 конфет, у Юры – 4 такие же конфеты. К ним присоединилась Елена, и они разделили конфеты поровну. Елена дала ребятам 18 орехов и попросила ребят разделить их между собой. Сколько орехов должен получить Тарас и сколько Юра?

Анализируем.В условии сказано, что дети конфеты поделили между собой поровну. Это позволяет найти количество конфет, которое получил каждый из детей.

Если орехи, переданные Еленой, рассматривать как компенсацию за полученные ею конфеты, то, зная количество конфет, которые достались Елене, можно найти «цену» одной конфеты, а значит и «стоимость» конфет Тараса и конфет Юры.

Решаем.Дети разделили между собой 5 + 4 = 9 конфет. Каждому досталось по 9: 3 = 3 конфеты. За полученные 3 конфеты Елена дала ребятам 18 орехов, то есть 18: 3 = 6 орехов за каждую конфету.

Тарас передал Елене 5 – 3 = 2 конфеты, за них он должен получить 6× 2 = 12 орехов, а Юра передал Елене 4 – 3 = 1 конфету, за неё он должен получить 6× 1 = 6 орехов. ■

1. На сколько больше орехов должен был бы получить Тарас, если бы Елена передала ребятам 24 ореха?

2. Сколько орехов должен был бы получить Тарас и Юра, если бы у Тараса было 8 конфет, а у Юры 4 конфеты?

Задача 4. Класс выполнил контрольную работу, в которой можно было набрать самое большее 30 баллов. Результаты представлены в таблице.

а) Сколько оценок 5 в классе, если эта оценка ставилась не менее чем за 25 баллов?

б) Сколько оценок 4 в классе, если эта оценка ставились не менее чем за 20 баллов?

в) Какой минимальной сумме баллов соответствуют оценки 3, если известно, что два ученика получили оценки 2?

г) Укажите самый худший результат в классе.

Анализируем. В таблице приведены результаты (в баллах) выполнения контрольной работы в классе. Для упрощения решения можно эти результаты упорядочить (расположить по убыванию баллов).

Решаем. Расположим результаты выполнения контрольной работы по убыванию баллов:

30, 28, 26, 26, 25, 24, 23, 22, 22, 22, 21, 21, 20, 18, 18, 17, 16, 15, 12, 10.

а) В таблице имеется 5 чисел, не меньших 25, поэтому 5 человек в классе получили оценки 5.

б) В таблице имеется 8 чисел от 20 до 24, поэтому 8 человек получили оценки 4.

в) Так как два ученика получили оценки 2, то это соответствует двум самым низким результатам: 10 и 12 баллам. Поэтому оценка 3 соответствует минимальной сумме баллов – 13.

г) Самый худший результат в классе – 10 баллов. ■

1. Сколько учащихся писали контрольную работу?

2. Какой самый высокий балл в классе?

3. Каким баллам соответствует оценка 3?

4. Сколько человек в классе получили оценки 3?