Тема 4. Принятие финансовых решений в условиях частичной и полной неопределенности.

Для успешного усвоения данной темы необходимо повторитьосновные положения теории вероятностей и математической статистики. Следует отметить, что финансовый анализ в условиях неопределенностей строится на определенных допущениях, обоснование которых базируется на теореме Чебышева и центральной предельной теореме.

Особое внимание следует уделить различным подходам к определению риска финансовой операции и общим методам его уменьшения.

Для количественной оценки отношения инвестора к риску важно усвоить характеристики функций Бернулли, Неймана-Моргенштерна, Эрроу-Пратта

Принятие решения в условиях полной неопределенности происходит по одному из следующих правил:

· Вальда – правило крайнего пессимизма;

· Сэвиджа - правило минимального риска;

· Гурвица;

· Лапласа- правило равной вероятности.

Если в рассматриваемой схеме известны вероятности p_j того, что реальная ситуация развивается по варианту j., то такая неопределенность называется частичной. В случае однофакторной оптимизации возможно применение или правила минимального среднего ожидаемого риска, или правила максимального среднего ожидаемого дохода. Для двухфакторной задачи целесообразно использовать оптимизацию по Парето. При отсутствии недоминируемых операций используют взвешивающие формулы, отражающие отношение ЛПР к риску и среднему доходу.

Тема 5. Оптимальный портфель ценных бумаг.

Изучение данной темы следует начинать с усвоения основных понятий:

· x _i- доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида;

· d_i - доходность ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу;

· d_p = - доходность портфеля;

· m_p = M[d_p] = - эффективность портфеля;

_· V_p = - дисперсия доходности портфеля;

_{· =} r_p - риск портфеля;

_· m₀ - эффективность безрисковых бумаг;

_· I – n-мерный вектор-столбец, состоящий из единиц;

_· М- вектор эффективностей рисковых ценных бумаг.

Задача Марковица может быть сформулирована следующим образом.

Найти x _j, миниминизирующие риск портфеля

r_p=

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля m_p, т.е.

Решение подобных задач подробно рассматривалось в курсе «Экономико-математические методы». Однако здесь отсутствует обычное для экономики ограничение x_j Отрицательное решение < 0 означает реализацию операции «short sale»- вкладывание заемных денег в более эффективные ценные бумаги.

Задача Тобина – разновидность задачи Марковица, в условии, когда на рынке есть безрисковые бумаги. В этом случае при той же целевой функции система ограничений имеет следующий вид:

x₀m₀+ x₀ +

Оптимальное значение долей x_i есть

Полученный портфель называют портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина - это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если в качестве целевой функции использовать эффективность портфеля, то несложно получить выражения для портфелей Марковица и Тобина максимальной эффективности, имеющих риск не более заданного.

При изучении формирования портфеля с помощью ведущего фактора необходимо использовать знания, полученные в курсе «Эконометрика».

ЗАДАЧИ.

1. Простые проценты.

1. Вклад в размере 15000 рублей размещен под 15% годовых 15 января и снят 2 августа. Определить наращенную сумму и проценты по вкладу по германской системе.

2. 20000 рублей размещены 2 января и сняты 6 сентября. Определить различие в величине процентов по вкладу исходя из германской, французской и английской систем.

3. При покупке бытовой техники в магазине фирмы «МИР» покупателю был открыт кредит на 30000 рублей под 20 % полугодовых. Два месяца покупатель вносил по 5000 рублей, а в конце третьего месяца решил полностью рассчитаться за покупку. Какую сумму внес покупатель при окончательном расчете? Изменится ли характер начисления долга после первой выплаты?

4. Вклад 300 руб. был размещен в банке 10 июня по ставке 60% годовых. При востребовании вклада 20 сентября вкладчику были начислены проценты в размере 50 рублей. Определить, какую практику начисления процентов использовал банк.

5. Через сколько лет сумма вклада размещенного под 18 % годовых утроится? Проценты простые.

6. В первом квартале ставка процента составила 10 %, втором- 15%, третьем и четвертом-ло 18 %. Во сколько раз выросла сумма за год?

7. Банк учел вексель за 80 % его номинала за месяц до его выкупа. Какова доходность операции для банка?

8. Редакция предложила автору вознаграждение: или сегодня 16000 рублей или в конце года 20000 рублей. Расчеты проводятся через банк по 14 % годовых. Какой вариант предпочтительнее для автора?

9. Две фирмы пользуются услугами одного и того же банка под 14 % годовых..На счету фирмы А в феврале было 120000 ден.ед., а на счету фирмы В в сентябре было 150000 ден.ед. Инвестор решил выбрать наиболее состоятельную фирму. Какой выбор сделает инвестор?

10. Вексель на сумму 10000 рублей с погашением 30 ноября предъявлен в банк для оплаты 20 сентября по учетной ставке 20 % годовых. Определить сумму, выплаченную владельцу векселя и сумму дисконта при германской практике расчетов.

11.При учете векселя на сумму 200000 рублей, до срока оплаты которого осталось 45 дней. Банк выплатил предъявителю 150000 рублей. Определить величину ставки простых процентов.

12. Компьютер стоит 1000 долларов США. Родители решили сделать новогодний подарок дочери и для этого 15 февраля открыли счет в банке под 18 % годовых по германской системе. Какую сумму необходимо для этого разместить?

13. Определить текущее значение 120 тыс. руб., получаемых через год при процентной ставке 14 % и при учетной ставке 14 %.

14. За какой срок сумма в 25 тыс. руб. возрастет до 30 тыс. руб., если ставка простых процентов 17 % годовых и применяется британская практика расчетов процентов?

15. Предприниматель получил кредит на год в размере 120000 рублей с условием возврата 180000 рублей. Определить процентную ставку.

16. Банк. А принимает вклады под 16 % годовых. Банк В в первом квартале устанавливает 18 % годовых, во втором -1, 2% месячных, в третьем и четвертом 3 % квартальных процентов. Какой банк предпочтительнее для вкладчика при размещении вклада на год?

17 Инвестор, формирующий портфель ценных бумаг проводит операцию «short sale». В банке. А на год размещены 120000 рублей под 18% годовых. Инвестор обязуется через год вернуть указанную сумму вместе с процентами. После этого он размещает вклад в банк В. При какой ставке простого годового процента в банке В доходность операции составит 10%?

18. Банк А выдал клиенту ссуду в 25000 рублей на 6 месяцев под 16 % годовых. Получив ссуду клиент разместил деньги в банке В на те же 6 месяцев. При какой ставке процента в банке В доходность операции составит 20 %?

19. При какой ставке простых процентов начальная сумма за год вырастет на треть?

20. Вклад в размере 150000 рублей размещен на год под 18% годовых. Через пол года вкладчик был вынужден снять со счета 50000 рублей. В результате итоговая сумма оказалась равной изначальной. Определить годовую ставку процента.

21. Банк принимает вклады под 15% годовых. Имеются сведения о трех вкладах, которые, соответственно, равны 13000, 15900 и 17200 рублей. Данные о первом вкладе получены в январе, втором - в мае, третьем - в ноябре. Сравнить вклады на момент января, мая и декабря.

22. Размещенный 13 января вклад в размере 20000 рублей на 18 августа составил 32000 рублей. В банке принята британская практика начисления процентов. Определить ставку дисконта и дисконт-фактор.

23. В банке установлена годовая ставка 18 %. Определить дисконт и дисконт-фактор.

24. При размещении вклада дисконт-фактор составил 38 %. Определить величину ставки процента.

25. Имеется постоянная ставка простых процентов за конверсионный период i, число конверсионных периодов с момента заключения договора - k, для вклада S(0) наращенная без промежуточных операций сумма- S(k). Доказать, что наращенная сумма образует арифметическую прогрессию с разностью d = S(0) и а₀ = S(0).

26.На некоторую сумму ежемесячно в течение квартала начисляют простые проценты по ставке 2 % в первый месяц, 3%- во второй месяц, и 1 % в третий. Определить коэффициент наращения суммы при реинвестировании и без реинвестирования.

27. До срока погашения векселя осталось 60 дней. Ожидаемый уровень инфляции -16 % в год. Расчетное количество дней в году 360. Определить значение учетной ставки, обеспечивающей реальную доходность операции 10 %, при учете векселя.

28. Банк начисляет за пользованием кредитом 29 % годовых, инфляция составляет 16 % в год. Определить реальную эффективную ставку процента.

29. Вкладчик намерен внести 20000 рублей на 7 месяцев в банк, который гарантирует 18 % годовых. Ожидаемая годовая инфляция -16 %. Определить номинальную и реальную сумму вклада на момент окончания срока, а также реальную годовую процентную ставку.

30. Предприятие решило в конце года приобрести необходимое оборудование стоимостью 250000 рублей. Для этого в марте месяце в банке под 18 % годовых был открыт счет. Определить величину первоначального взноса.

31. Предприниматель в январе внес 130000 рублей под 4 % в квартал. В декабре необходимо выплатить 30000 рублей арендной платы. Оценить номинальную и реальную эффективность операции.

32. Через сколько месяцев при годовой процентной простой ставке i = 17 % начальная сумма вырастет на 10 %?

33. Через сколько месяцев при годовой простой процентной ставке i = 18 % начальная сумма вырастет на 15 %.? Ожидаемая годовая инфляция 16 %.

34. Определить простые проценты по вкладу, если сумма в 15000 рублей размещена на 6 месяцев под 19 % годовых. Ожидаемая инфляция 16 %.

35. Первый год годовая ставка простых процентов составила 18 %, а каждый последующий год уменьшалась на 2 %. Через сколько лет первоначальная сумма удвоится?

2 Сложные проценты.

1.Для суммы в 1000 рублей постройте график изменения наращенной суммы по простым и сложным процентам. В качестве опорных точек возьмите срок в полгода, год, два, четыре года. Сравните результаты, сделайте выводы.

2. Определить сложные проценты и наращенную сумму, если 15000 рублей размещены на три года при годовой ставке сложных процентов i = 20 %.

3. При рождении внука бабушка открыла счет на 1000 рублей под 14 % годовых. Какую сумму получит в день совершеннолетия внук и чему равны сложные проценты по вкладу.?

4. Кредит в размере 15000 рублей выдан на 2 года и 120 дней под 15 % сложных годовых процентов. Определить сумму долга на конец срока общим и смешанным методами.

5. Какова сумма долга через 23 месяца, если его первоначальная величина в 20000 рублей, ставка 18 % годовых, начисления ежеквартально? Применить общий и смешанный методы.

6. Для номинальной ставки 15 % и ежеквартального начисления определить размер эффективной ставки.

7. Определить номинальную процентную ставку с начислением процентов ежеквартально, которая эквивалентна номинальной ставке 20 % с начислением раз в пол года.

8. Для номинальной ставки 25 % с начислением процентов по полугодиям найти эквивалентную ставку, проценты по которой выплачиваются ежеквартально.

9. Найти современное значение долга, полная сумма которого через 2 года составит 120000 рублей. 5 % сложных процентов начисляются в конце каждого квартала

10. На сколько изменится срок удвоения вклада, если от простых процентов i = 18 % перейти к начислению сложных процентов?

11. Сколько получит владелец векселя на сумму 100000 рублей, если учет проводится за 3 года до наступления срока погашения, если годовая сложная учетная ставка равна 25 %?

12. За сколько лет долг возрастет с 50000 до 120000 рублей? Сложная годовая ставка i = 20 %.

13. За сколько лет долг возрастет с 50000 до 120000 рублей? Номинальная годовая ставка i = 20 %.

14. Банк учитывает вексель за 3 года до срока по простой учетной ставке 10 %. Для сохранения своего дохода банк устанавливает уже сложную учетную ставку. Определить величину новой учетной ставки.

15. В банке размещены 20000 рублей, на которые начисляют непрерывные проценты с постоянной интенсивностью роста 10 % за год. Найти наращенную сумму через 3 года.

16. В банке размещены 20000 рублей, на которые начисляют непрерывные проценты. В первые два года сила роста составляла 10 %, во вторые два- 20 % в год. Найти наращенную сумму через четыре года.

17. На протяжении трех лет сила роста изменялась по линейному закону: (t)= 0, 1 + 0, 2t. Наращенная сумма составила 30000 рублей. Определить начальную сумму.

18.Пусть (t) является кусочно-гладкой функцией, время измеряется в годах и в ближайшие 5 лет прогнозируется следующее поведение силы роста:

(t) =

Определить коэффициент наращения за весь срок.

19. Некоторая сумма размещается по схеме непрерывных процентов на достаточно длительный срок (t = ) Сила роста при этом является убывающей функцией- =

Определить коэффициент наращения.

20. Имеются два обязательства. По условию первого через два года выплачивается 120000 рублей. По условию второго - через три года 150000 рублей. Годовая ставка 14 %.

Являются ли эти обязательства эквивалентными?

21. Два платежа в 30000 и 40000 рублей со сроками уплаты в 2 и 3 года решили заменить одним со сроком оплаты в 2, 5 года. Определить размер консолидированного платежа, если сложная ставка 18 %.

22. По условию контракта, заключенного при покупке автомобиля, клиент обязан через 5 лет уплатить 30000 долларов США. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через два года выплачивается 10000 долларов, а оставшийся долг – через четыре года после первой выплаты. Определить размер последнего платежа, если годовая ставка 25 %.

23.Анализ финансовой деятельности показал, что к настоящему времени у предприятия имеются два обязательства: выплатить через два года 100000 рублей и через три года 200000 рублей при годовой ставке 25 %. Руководство приняло решение – рассчитаться с долгами в следующем году одним платежом. Определить размер этого платежа. …………

24.Предприятие должно через два года внести 100000, а через четыре- 200000 рублей при годовой ставке в 25 %. Принято решение рассчитаться одним консолидированным платежом в 250000 рублей. Определить срок платежа.

25. Стороны договорились заменить обязательства, предусматривающие выплату 100000 рублей через два года и 300000 рублей через пять лет одним платежом через год. Определить размер консолидированного платежа. Ставка сложных процентов в первый год 25 %, с последующим ежегодным уменьшением на 1 %.

26.Предприятие взяло кредит на три года в размере 200000 рублей под 25 % годовых. Изыскав ресурсы, предприятие уже через год выплатило 100000 рублей. Определить размер последнего платежа. Произведенного в конце второго года.

27. Банк предлагает долгосрочные кредиты под 25 % годовых с ежеквартальным начислением процентов, 29% годовых с полугодовым начислением и 17% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить вариант наиболее выгодный для банка.

28. Вкладчик решил внести 100000 рублей на два года в банк под 18 % годовых с начислением раз в пол года. Прогнозируемый годовой темп инфляции 16 %. Какой реальный доход будет иметь вкладчик?

29.Банк учитывает вексель по номинальной учетной ставке 12% с ежеквартальным начислением и желает перейти к сложной учетной ставке. Какой должна быть величина этой ставки, чтобы доход банка не изменился?

30. Банк учитывает вексель за три года до срока его уплаты по простой учетной ставке 12 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход остался прежним?

31. Вкладчик разместил в банке 15000 рублей на 2 года с ежеквартальным начислением процентов. Эта операция принесла ему доход в 40000 рублей. Определить размер номинальной ставки, установленной банком.

32. Срок до погашения векселя 3 года. Дисконт при его учете составил 25 %. Определить сложную годовую учетную ставку.

33. Определить наращенную сумму, если изначально 100000 рублей размещены на три года с начисленим процентов по полугодиям при номинальной годовой учетной ставке 15 %.

34. Кредит взят на пять лет. В первые два года ставка сложных процентов 25 %, затем банк ввел новую сложную ставку – 22 %. В последний год клиенту установлены простые проценты - 20 %. Определить, во сколько раз выросла сумма?

35. Вклад размещен на 2 года и 60 дней по сложной годовой ставке 18 %. Определить наращенную сумму обычным и смешанным способами.

3. Потоки платежей.

1.Ежемесячный размер квартплаты составляет 1000 рублей. Годовая ставка простых процентов 15 %. Иванов в январе заплатил за год вперед 12000 рублей. Петров эту же операцию произвел в декабре, а Сидоров – в июне. Оценить эффективность платежей.

2. В течение пяти лет клиент вносил в накопительный страховой фонд по 1000 рублей ежегодно. По условию договора в случае оговоренного особого случая клиент получает 80 % накопленной суммы. В конце пятого года этот случай произошел. Годовая ставка 15 %. Какую сумму получит клиент?

3. Собрание акционеров постановило создать накопительный фонд для приобретения недвижимости. Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 18 % для накопления через пять лет 500000 долларов США.

4. Определить наращенную сумму годовой ренты, если при ежемесячном начислении по номинальной ставке 18 % разовый платеж составляет 100000 рублей.

5. Для покупки квартиры гражданин Иванов взял в банке кредит 50000 долларов США, сроком на пять лет под 18 % годовых. Определить размер ежегодных платежей.

6. Ссуда размером в 1000000 рублей, выдана на пять лет под номинальную ставку 15 % годовых. Должник должен выплачивать долг вместе с процентами равными долями. Определить сумму ежемесячных платежей и общую сумму всех платежей.

7. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа 100000 рублей. Проценты начисляются непрерывно с силой роста 18 %. Найти величину фонда на конец срока.

8. Для постоянной годовой ренты пренумерандо с разовым платежом 100000 рублей, сложной годовой ставки 18 %. начисления процентов раз в году в течение пяти лет определить сумму всех платежей на начало выплат.

9. Для приобретения дорогостоящего оборудования фирма ежеквартально вносит по 100000 рублей, причем проценты начисляются один раз в год по ставке 18 %. Определить современное значение стоимости фонда, который будет накоплен по схеме пренумерандо к концу пятилетнего срока.

10. Определить современную стоимость годовой ренты при начислении процентов ежеквартально, если номинальная ставка 18 %, размер отдельного платежа 10000 рублей, длительность ренты три года.

11. Найти современную стоимость ренты, по которой 20000 рублей выплачивают ежеквартально в течение трех лет. Начисление процентов раз в пол года по номинальной ставке 16 %.

12. Найти наращенную сумму непрерывной ренты за два года, если взносы в размере 10000 рублей делают три раза в год, сила роста 12 %.

13. За какое время можно накопить средства для покупки квартиры стоимостью 40000 долларов США, если ежемесячно вносить 500 долларов, а на накопления начисляются проценты по ставке 8 % годовых?

14. С целью финансового оздоровления комиссия решила выкупить вечную ренту, по которой предприятие должно было вносить 25000 рублей в конце каждого квартала под годовую ставку 15 %.Какая сумма была уплачена?

15. Предприятие ежеквартально выплачивает заказчикам 20000 и 30000 рублей. Срок выплат, соответственно, три и четыре года. Проценты начисляются раз в году по ставке 18 %. Руководство решило сократить срок выплаты задолженности до двух лет. По предлагаемому графику одна выплата будет производиться раз в пол года по той же годовой ставке. Определить размер консолидированного платежа.

16.По заключенному контракту предприятие обязано в течение трех лет ежегодно выплачивать заказчику по 100000 рублей при ежегодном начислении 25 %. В связи с изменившимися финансовыми обстоятельствами предлагается без ущерба для заказчика

выплаты произвести ежеквартальными платежами за тот же срок. Определить размер разового платежа, если начисление процентов не изменится.

17.Фермер приобрел технику и семена. По заключенным контрактам он обязан ежемесячно в течение трех лет выплачивать, соответственно, 50000 и 10000 рублей. Банк начисляет проценты ежегодно под 18 %. Фонд помощи предпринимательству решил погасить задолженность фермера. Какая сумма была внесена?

18.Фирма приобрела недвижимость за 2 млн. долларов США. Первоначальный взнос составил 20 % стоимости, а оставшуюся часть планируется выплатить за 72 ежемесячных отчисления. Ежемесячная ставка 15 %. Какова сумма каждого платежа?

19.Для расширения производства фирма взяла кредит на пять лет в размере 500000 рублей под 20 сложных процентов в год. Выплаты будут производиться ежемесячными платежами с начислением 15 % процентов раз в год. Определить размер платежа.

20.Какими средствами должен располагать частный пенсионный фонд, чтобы ежемесячно выплачивать своим участникам 2000000 рублей? Фонд может инвестировать свои средства под 1, 5 % в месяц

21 Кредит в размере 3000000 рублей погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 2 % в месяц. Определить сумму ежемесячного взноса при платежах постнумерандо и пренумерандо.

22. У студента Иванова имеется счет в банке, по которому начисляют 12 сложных годовых процентов. Решив открыть свое дело, студент отобрал два возможных проекта. По первому проекту необходимо изначально вложить 1000 долларов США, что принесет в конце второго, третьего и четвертого годов по 500 долларов. По второму - начальные вложения составляют 900 долларов, а аналогичные поступления -450 долларов. Какой инвестиционный проект выберет студент Иванов?

23. Предприятие ежемесячно в течение года приносит доход в 10 млн. рублей Средства размещаются в банке, в котором установлена номинальная ставка 15 %. Предлагаются две схемы модернизации производства. По первой схеме необходимо изначально вложить 100, по второй – 150 млн. рублей. Планируется, что модернизация приведет к увеличению ежемесячного дохода, соответственно, до 13 и 18 млн. рублей. Какое решение примет руководство предприятия?

24. Рассматривается инвестиционный проект, по которому предполагается доход за первый год 120, за второй – 140 и за третий – 150 условных денежных единиц. Эффективная процентная ставка прогнозируется на первый год- 18 %, на второй – 30 %, на третий – 40 %. Имеются три варианта начальных капиталовложений: 240, 260 и 180 условных денежных единиц. Провести анализ вариантов инвестиционного проекта.

25. Предприятие изначально вкладывает 10 усл. ден. ед., затем 3 усл. ден. ед. через два года и получает 20 усл. ден. ед. через 5 лет. Найти внутреннюю норму доходности инвестиционного проекта.

26. Инвестиционный проект предусматривает капиталовложения в конце первого и третьего года в размере 10 условных единиц. Поступления в размере 30 условных единиц ожидаются в конце пятого года. Найти внутреннюю норму доходности проекта.

27. Строительная фирма предлагает для продажи загородный коттедж за 150000 долларов. Договор купли-продажи предусматривает возможность оформления кредита на 10 лет по сложной годовой ставке 15 %. Какова сумма каждого ежемесячного платежа и общая сумма выплаченных процентов?

28. Для проведения крупных спортивных международных соревнований городское управление продало облигации на сумму 5 млн. долларов США под 12 % годовых. Оно планирует положить эти деньги в накопительный фонд, чтобы погасить облигации через 10 лет. Сложная годовая ставка в накопительном фонде 14 %. Определить общую сумму процентов по облигациям.

.

29. Используя метод линейной интерполяции определить минимальную ставку процентов, при которой за пять лет можно накопить 100000 рублей. Размер ежемесячного взноса

1500 рублей.

30. Используя метод Ньютона - Рафсона определить минимальную ставку процентов, при которой за пять лет можно накопить 100000 рублей. Размер ежемесячного взноса 1500 рублей.

31. При покупке бытовой техники покупателю банком «Русский стандарт» был предоставлен кредит 6 месяцев под 29 % годовых. Определить размер ежемесячного платежа и график выплат.

32. На покупку автомобиля был выделен кредит в размере 100000 рублей под 25 % годовых. В течение двух лет ежемесячно покупатель вносил по 3000 рублей, а затем решил полностью рассчитаться с задолженностью. Определить размер остаточного платежа.

33. Благотворительный фонд установил именную стипендию. Лучшие студенты в течение пяти лет будут получать ежемесячно по 100 долларов США. Определить затраты фонда, если годовая ставка 15 %, а стипендии планируется выдавать начиная со 2 курса.

34. Банк продает ренту, согласно которой клиент в течение пяти лет будет ежемесячно получать по 20000 рублей, начиная со второго года. Определить себестоимость для банка этой ренты, если установлена годовая ставка 16 %.

35. Банк решил установить заслуженному сотруднику пенсию в размере 5000 в месяц. Определить затраты банка, если годовая ставка 12%.