XVIII. Кино 21 страница. Лит.: История французской литературы, т

Лит.: История французской литературы, т. 1, М.-Л., 1946, с. 90-91; Stгоnskil St., La legende amoureuse de Bertran de Born, P., 1914; A p p e 1 C., Bertran von Born, Halle, 1931; Wink1er E., Studien zur poli-tischen Dichtung der Romanen. 1. Das altpro-venzialische Sirventes, В., 1941.

БЕРТРАНДИТ [по имени франц. минералога Э. Бертрана (E. Bertrand)], минерал, хим. состав Be4[Si₂O₇](OH)2. Содержание (в %): ВеО - 42, 02, SiO₂ -50, 42, Н₂О - 7, 56. Характерными примесями являются бор и германий. Б. образует мелкие кристаллики в виде клиновидных или уплощённо-призматич. табличек и агрегаты из них. Блеск стеклянный, тв. по минералогич. шкале 6, 5-7, 0; плотность 2580 кг/м³. Б. широко распространён в редкометальных месторождениях, генетически связанных с гранитоидами и с гипабиссальными интрузивами субщелочных гранитов. Б. служит рудой для извлечения бериллия.

БЕРТЬЕ (Berthier) Луи Александр (20.11.1753, Версаль, -1.6.1815, Бамберг), маршал Франции (1804), князь невша-тельский (1805), герцог валанженский (1806), князь ваграмский (1809). Участвовал в войне за независимость США (1775-83). С 1789 нач. штаба нац. гвардии Версаля. В 1792-95 нач. штаба ген. Люкнера при подавлении мятежей в Вандее, в 1795 нач. штаба армии ген. Ф. Э. Келлермана. В 1796-97 нач. штаба, а в 1797-98 команд, франц. Итальянской армией. При Наполеоне - воен. министр (1799-1807, перерыв в 1800). До 1814 являлся бессменным нач. штаба Наполеона, к-рый высоко ценил Б. за его работоспособность, точность и исполнительность. Разработал основы штабной службы, принятые затем всеми европ. армиями.

После отречения Наполеона перешёл на службу к Людовику XVIII, но во время " Ста дней" уехал в Бамберг (Бавария) и покончил жизнь самоубийством.

БЕРТЬЕ-ДЕЛАГАРД Александр Львович (1842, Севастополь, -1920, Ялта), русский археолог и нумизмат. С 1899 вице-президент и фактич. руководитель Одесского об-ва истории и древностей. Осн. труды по археологии и истории монетного дела антич. городов Сев. Причерноморья. Одним из первых привлёк мет-рологич. данные для изучения денежного обращения. Изучал ист. географию юга терр. СССР в древности и в ср. века.

Соч.: Раскопки Херсонеса, в сб.: Материалы по археологии России, № 12, СПБ, 1893; О Херсонесе, в сб.: Изв. археологической комиссии, в. 21, СПБ, 1907; Относительная стоимость монетных металлов на Боспоре и Борисфене в половине IV в. до н. э., в кн.: Нумизматический сборник, т. 1, М., 1911; Материалы для весовых исследований монетных систем древне-греческих городов и царей Сарматии и Тавриды, там же, т. 2, М., 1913; Исследования некоторых недоуменных вопросов средневековья в Тавриде, " Изв. Таврической ученой архивной комиссии", 1920, № 57.

БЕРУЛАВА Хута Михайлович (р. 10. 12.1924, Зугдиди), грузинский советский поэт. Чл. КПСС с 1944. Учился в Сухумском пед. ин-те. Окончил моск. Лит. ин-т им. М. Горького (1952). Печататься начал с 1941. Первая книга стихов (1944) посвящена героич. борьбе сов. народа против нем.-фаш. захватчиков. Автор св. 30 книг на груз, и рус. языках. Поэзия Б. проникнута пафосом утверждения новой жизни (" Поэзия", " Ленину", " Через столетие"). В поэме " Русское сердце" (1951) Б. показал дружбу грузинского и русского народов, в " Песне о звёздах" нарисовал колоритные картины груз, природы, жизнь и быт колх. деревни. Пишет и для детей.

В рус. пер. - Летящие годы, М., 1958; Стихи. [Вступ. ст. Г. Натрошвили], М., 1966; Стихи, Тб., 1967. А. М. Мирианашвшш.

БЕРУТ (Bierut) Болеслав (18.4.1892, ок. Люблина, -12.3. 1956, Москва), польский политич. и гос. деятель. С 1912 участвовал в революционном движении, являясь членом ППС-левицы. С дек. 1918 чл. компартии Польши (КПП). В 1915-23 на руководящей работе в рабочих кооперативах Польши, а затем на ответств. постах в КПП. За революц. деятельность подвергался преследованиям и арестам в бурж. Польше. В годы нем.-фаш. оккупации Польши - один из организаторов борьбы за нац. и социальное освобождение польск. народа. Входил в руководство возникшей в 1942 Польской рабочей партии (ППР). 1 янв. 1944 был избран пред. Крайовой Рады Народовой, находился на этом посту до 4 февр. 1947. В 1947-52 президент Польской Республики и пред. Гос. совета; в 1952-54 пред. Совета Министров ПНР. С сент. 1948 ген. секретарь ЦК ППР, с дек. 1948 чл. Политбюро ЦК и пред. ЦК Польской объединённой рабочей партии (ПОРП). С марта 1954 первый секретарь ЦК ПОРП.

Соч.: О partil, 2 wyd., Warsz., 1954.

БЕРХ Василий Николаевич [18(29). 5. 1781, Москва, -21.12.1834(2.1.1835), Петербург], русский историк флота и географ. В 1803-06 участвовал в кругосветном плавании на корабле " Нева" под начальством Ю. Ф. Лисянского. В 20-е гг. служил в адмиралтейском департаменте. Был чл. Королевского копенгагенского об-ва.

Соч.: Хронологическая история всех путешествий в северные полярные страны, ч. 1 -2, СПБ, 1821-23; Хронологическая история открытия Алеутских островов или подвиги российского купечества, СПБ, 1823; Первое морское путешествие россиян..., совершенное в 1727, 28 и 29 годах под начальством... Витуса Беринга, СПБ, 1823; Жизнеописания первых российских адмиралов или опыт истории российского флота, ч. 1-4, СПБ, 1831-1836.

БЕРХАНУ ДЕНКЕ (г. рожд. неизв.), эфиопский писатель. Пишет на амхар-ском яз. Начал печататься в 1944. Осн. произв. посвящены тяжёлым годам итал. оккупации Эфиопии (1936-41): " Краткая история пяти лет страданий" (1944), " Поучение детям" (1946), " Краткая история Эфиопии" (1948), " От Уал-Уал до Май-Чеу" (1949) - история итал. вторжения; пьеса в стихах " Царица Саба" (1951).

БЕРХЕМ (Berchem), город в Бельгии, в пров. Антверпен. 50, 3 тыс. жителей (1968). Трансп. узел. Машиностроение, хим., бум., пищ. пром-сть.

БЕРХТЕСГАДЕНСКОЕ СВИДАНИЕ 1938, встреча английского премьер-министра Н. Чемберлена с германским рейхсканцлером А. Гитлером 15 сент. в Берх-тесгадене (Berchtesgaden, Бавария). Во время встречи Чемберлен, стремившийся к достижению соглашения с Германией и старавшийся направить герм, агрессию против СССР, согласился в принципе с требованиями Гитлера о присоединении к Германии Судетской области Чехословакии. Б. с. явилось одним из этапов непосредств. подготовки Мюнхенского соглашения 1938.

Публ.: Documents on British foreign policy 1919-1939, 3 ser., v. 2, L., 1949.

БЕРЦЕ Визбулис Аугустович (р. 28. 10.1916, Иркутск), латышский советский писатель. Чл. КПСС с 1947. Сын революционера и писателя А. Арайса-Берце. Окончил Моск. юридич. ин-т в 1940. Участник Великой Отечеств. войны. Первые кн.: " Сила сильных" (1948) -рассказы воен. лет и " Первые одиннадцать" (1949) - повесть о первых шагах коллективизации с. х-ва в Латвии. Гл. темы последующих произв. Б. - жизнь и труд сов. рабочих, проблемы, волнующие юношество (романы " Будущее начинается сегодня", 1951, " Вышли мы все из народа", 1956, " Наследство", 1965, повесть " Эрика, Дзидра и другие", 1966). После поездки по Д. Востоку написал репортаж " Редакция на колёсах" (1961). Размышления о писательском труде содержит кн. " Цветные сны" (1963) и " За синей птицей" (1968). Все книги Б. переведены на рус. яз. Награждён орденом " Знак Почёта".

Лит.: Очерк истории латышской советской литературы, Рига, 1957. Я. Р. Озолс.

БЕРЦЕЛИУС (Berzelius) Йене Якоб (20.8.1779, Веверсунда, -7.8.1848, Стокгольм), шведский химик и минералог. В 1802 получил степень доктора медицины в Упсальском ун-те, проф. университета в Стокгольме (1807), а с 1810 по 1832 - Медико-хирургич. ин-та там же. С 1808 чл. АН в Стокгольме (в 1810 её президент и с 1818 непременный секретарь). С 1820 иностр. почётный чл. Петерб. АН. Заслуга Б. - в эксперимент. обосновании атомистики, её развитии и внедрении в химию. В 1810-16 Б. на материале анализов окислов дал новые доказательства кратных отношений закона.

И. Я. Берцелиус.

Ф. В. Бессель.

В 1814 составил по собственным данным таблицу ат. масс 41 элемента и предложил обозначать атомы элементов начальными буквами их греч. и лат. названий (см. Знаки химические). В 1818 опубликовал таблицу ат. масс 46 элементов и процентный состав ок. 2 тыс. соединений, лично им проанализированных.

Основой теоретич. воззрений Б. было положение об электрич. природе химич. сродства. В 1807 Берцелиус и В. Гизингер пришли к выводу, что все соли состоят из кислот и оснований и что, подобно солям, все химич. соединения имеют двойственный состав. В дальнейшем Б. высказал (в 1812-19) свою электрохимич. теорию, к-рая была в целом прогрессивным явлением в истории химии.

Б., вслед за А, Лавуазье, приписывал кислороду исключит, способность образовывать кислоты, причём кислотами Б. называл ангидриды кислот и долго отрицал существование бескислородных кислот (НС1 и др.). Все химич. соединения Б. расположил в общий ряд, причём электроотрицат. его конец заняли кислоты, электроположит.- основания, а соли поместились в середине ряда. Исследуя различные минералы и руды, Б. вместе с Гизингером открыл в 1803 церий, в 1817 селен, а в 1828 торий; в 1824-25 впервые получил в свободном состоянии кремний, титан, тантал и цирконий.

В 1811 Б. начал систематич. определения элементарного состава органич. соединений и к 1814 показал, что их состав подчиняется закону кратных отношений. В 1815 дал первые формулы нек-рых органич. кислот. Когда были обнаружены органич. соединения, обладающие при одинаковом составе различными свойствами, Б. назвал в 1830 это явление изомерией.

Б. неуклонно отстаивал атомистику в химии, признавал реальность атомов и возможность познать конституцию химич. соединений. В этом проявились его ма-териалистич. взгляды, способствовавшие развитию науки. Деятельность Б. способствовала развитию химии 1-й пол. 19 в., что признали современники, называвшие его законодателем химии.

Соч.: Afhandliger i fysik, kemi och mine-ralogJ, bd 1-6, Stockh., 1806 - 18; Lehrbuch der Chemie, 5 Aufl., Bd 1-5, Lpz., 1847-56. Лит-: Соловьёв Ю. И., Куринной В. И., Якоб Берцелиус, М., 1961; Sоderbaum H. G., Jacob Berzelius, Bd 1 -3, Uppsala, 1923-39; Но1mberg A., Bibliographi over J. J. Berzelius, dl 1 - 2, Stockh., 1933-36; suppl. 1 - 2, Stockh., 1936 - 53.

БЕРЧОГУР, посёлок гор. типа в Челкар-ском р-не Актюбинской обл. Казах. ССР. Расположен в отрогах Мугоджар, в 18 км от ж.-д. станции Б. (на линии Оренбург - Ташкент). 2, 8 тыс. жит. (1968). З-ды щебёночный и строит. материалов.

БЕРШ (Lucioperca volgensis), рыба сем. окунёвых; близка к судаку. Дл. обычно около 25 см, весит 250 г; иногда дл. 45 см, весит 1, 4 кг. Встречается в басе, сев. частей Каспийского, Чёрного и Азовского морей (гл. обр. в низовьях впадающих в них рек). Питается мальками, мелкой рыбой и ракообразными. Нерест в апреле - мае. Промысловое значение невелико.

БЕРШАДЬ, город (до 1966 - посёлок гор. типа), центр Бершадского района Винницкой обл. УССР, на р. Дохна (басе. Юж. Буга). Ж.-д. станция. 11, 8 тыс. жит. (1969). Сахарный, спиртовой комбинаты, маслодельный, сухого молока, металлич. изделий з-ды, мебельная, швейная ф-ки.

БЕРШЕ (Berchet) Джованни (23.12.1783, Милан, -23.12.1851, Турин), итальянский поэт. Один из основоположников итал. романтизма. В " Полусерьёзном письме Златоуста своему сыну" (1816) Б. утверждает, что поэзия должна быть национальной, подражать природе и не зависеть от правил эстетики классицизма. Стихи Б. проникнуты мотивами нац.-освободит. борьбы, в них звучат ненависть к австрийцам, презрение к предателям и боль за порабощённую отчизну (поэма " Беглецы из Парги", изд. 1823, " Романсы", 1822-24). В поэме " Фантастические сны" (1829) бездействию современников противопоставлена славная борьба их предков. Эти лиро-эпич. произв. приобретают иногда сентиментальную окраску. Более мужественно звучит ода " К оружию" (1831). Б. принадлежат также критич. статьи и переводы.

Соч.: Opere, v. 1-2, Bari, 1911 - 12.

Лит.: Storia della letteratura italiana, v. 7, L'Ottocento, Mil., [1969]. Н.Г.Елина.

БЕРЫНДА Памва [50-70-е гг. 16 в.-13(23).7.1632, Киев], украинский лексикограф, поэт, переводчик. Был активным чл. Львовского братства (см. Братства), вёл издательскую деятельность. С 1616 работал в типографии Кие-во-Печерской лавры. Автор словаря " Лексикон славеноросский" (1627), стихов па-негирич. и духовного содержания.

Лит.: Украшсыи письменнцки. Бiо-бiблiографiчнiй словник, т. 1, К., 1960.

БЕСАЕВ Тазрет Урусбиевич [р.14(27). 6.1910, сел. Мастинок, Сев. Осетия], осетинский советский писатель. В 1937 окончил Ин-т философии, лит-ры и истории в Москве. Первый сб. стихов " Общественный певец" вышел в 1931. Повесть " Кто кого? или Последнее похождение муллы Магомета" (1933) рисует классовую борьбу в Сев. Осетии, повесть " Долг" - борьбу сов. людей против фаш. захватчиков. Автор романа " Надежда" (1949), пьесы " Песня об отважных" (1959), повести " Сердце тому свидетель" (1963).

Соч.: Царды суадон, Орджоникидзе, 1962; Дзехизгердаг де'вдисаен, Орджоникидзе, 1963; Сагхъазэены, Орджоникидзе, 1966; Азтэе, Орджоникидзе, 1968; в рус. пер- -Рассказы и легенды, М., 1959; Зауров родник, М., 1964.

Лит.: К а л о е в Г., Тазрет Бесаев, в кн.: Очерк истории осетинской советской литературы, Орджоникидзе, 1968.

" БЕСЕДА ЛЮБИТЕЛЕЙ РУССКОГО СЛИВА", литературное общество в Петербурге (1811-16), возглавлявшееся Г. Р. Державиным и А. С. Шишковым. Члены " Беседы" (С. А. Ширинский-Шихматов, А. С. Хвостов, А. А. Шаховской и др.) являлись эпигонами классицизма, нападали на реформу лит. языка, проводившуюся сторонниками Н. М. Карамзина. Возникшее в противовес " Беседе" лит. об-во " Арзамас" выступало против её консервативных взглядов.

Лит.: Тынянов Ю. Н., Архаисты и новаторы, Л., 1929; Л о т м а н Ю. М., Проблема народности и пути развития литературы преддекабристского периода, в сб.: О русском реализме XIX в. и вопросах народности литературы, М.- Л., 1960.

БЕСЕДКОВЫЕ ПТИЦЫ, шалашники (Ptilonorhynchidae), сем. птиц отряда воробьиных. Дл. тела 23-35 см; оперение серое или бурое с жёлтым или оранжево-красным, реже зелёное или фиолетовое. 22 вида. Населяют Австралию, Новую Гвинею и прилежащие острова. Обитатели лесов и зарослей кустарников. Самцы строят из веток конусы (высотой до 2 м) вокруг небольших деревьев или шалаши, украшая их и площадку перед входом яркими или блестящими предметами - цветами, плодами, раковинами, жуками и т. п. У нек-рых Б. п., напр. у фиолетового шалашникa (Ptilonorhynchus violaceus), стенки шалаша окрашены мякотью плодов или размельчённым углем, смешанным со слюной. Самец токует около беседки неск. недель и даже месяцев. Половое созревание самки и спаривание происходят в начале дождливого сезона, когда появляются насекомые - пища для птенцов. Гнёзда на деревьях или в кустарниках. В кладке 1-3 яйца.

[ris]

Фиолетовый шалашник.

Лит.: М а г s h а 1 1 A. J., Bower - birds. Their displays and breeding cycles, Oxf., 1954.

БЕСЕДЬ, река в БССР, Брянской и Смоленской обл. РСФСР, лев. приток р. Сож (басе. Днепра). Дл. 261 км, пл. басе. 5600 км². Ср. годовой расход воды в устье 27, 8 м³/сек. Судоходна от пос. Красная Гора (98 км от устья).

БЕСЕРМЯНЕ, этнографич. группа удмуртов. Живут в Балезинском, Юкаменском и Глазовском р-нах Удм. АССР. Говорят на удм. яз. с нек-рыми особенностями. Вопрос о происхождении Б. остаётся спорным. Этнографич. и ист. данные позволяют видеть в Б. потомков болгар волжско-камских.

Лит.: Белицер В. Н., К вопросу о происхождении бесермян (по материалам одежды), в кн.: Тр. Ин-та этнографии, т. 1, М., 1947; Народы Европейской части СССР, т. 2, М., 1964.

БЕСИКИ (лит. имя; наст. имя и фам. Виссарион Габашвили) [1750, Тбилиси, -24.1(4.2).1791, Яссы], грузинский поэт и политич. деятель. Род. в семье царского духовника и писателя Захария Габашвили. Воспитывался при дворе царя Картли и Кахети Ираклия П. Был обер-секретарём у царя Имеретин Соломона I. В 1787 послан в Россию во главе дипломатич. миссии. В качестве посланца находился при ставке фельдмаршала Г. А. Потёмкина на Украине и в Молдавии. Б. получил известность как поэт-лирик, автор изящных любовных песен - " Стан красавицы", " Сад тоски", " Я понял твои обвинения", " Два дрозда" и др. Из его патриотич. од и посланий выделяется ода " Аспиндза" в честь победы груз, войск в 1770 у м. Аспиндзи (Юж. Грузия) над вторгшимися тур. полчищами. Б. писал сатирич. стихи и эпиграммы. Тонкий мастер стиха, новатор в области стихосложения, Б. оказал влияние на груз, поэзию 2-й пол. 18 и нач. 19 вв. Жизни и деятельности Б. посвящён роман " Беси-ки" (1942-47) А. Белиашвили.

Лит.: Барамидзе А., Радиан и Ш., Ж г е н т и Б., История грузинской литературы, Тб., 1958; Антология грузинской поэзии, М., 1958.

БЕСКИДЫ, полоса сев. хребтов Зап. и частично Вост. Карпат в Чехословакии, Польше и СССР. Разделяются на Западные Бескиды и Восточные Бескиды.

БЕСКИЛЕВЫЕ ПТИЦЫ, бегающие птицы (Ratitae), надотряд птиц, неспособных к полёту. Характеризуются редукцией летательного аппарата: грудной киль отсутствует (ср. Килевые птицы), грудные мышцы слабо развиты, перья крыльев короткие и мягкие. Перья, покрывающие тело, мягкие, распушённые, т. к. не имеют зацепок, скрепляющих бородки. Ноги очень сильные. Б. п. хорошо бегают. Большинство -обитатели открытых пространств. Зрение и слух острые. Выводковые птицы; живут обыкновенно парами; у нек-рых насиживает яйца и выводит птенцов самец. Питаются растит. и животной пищей (мелкими позвоночными и беспозвоночными), птенцы - исключительно животной пищей. Одни виды живут в пустынях и степях, другие - в лесах. Четыре отряда: страусы, нанду, казуары (два сем.- настоящие казуары и эму) и киви. Лит-: Руководство по зоологии, сост. Г. П. Дементьев, т. 6, М.-Л., 1940, с. 627-33.

БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ, см. в ст. Десятичная дробь.

БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ, умозаключение, при к-ром из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи к.-л. общего суждения (высказывания), получается в качестве заключения (следствия) это общее суждение. Напр., из посылок 0+ 0= 0 + 0, 0 + 1 = 1+0, 0 + 2=2 + 0, 1 + 1=1 + 1, 0 + 3=3 + 0, 1+2=2 + 1, 0 + 4 = 4 + 0, 1+3=3 + 1, 2 + 2=2+2, 0 + 5=5 + 0, 1+4=4 + 1, 2 + 3=3 + 2,... (где многоточие означает предположение, что суммы натуральных чисел, стоящих по обе стороны знаков равенства, пробегают последовательно все натуральные числа) по Б. и. получается заключение а + b = b + а, справедливое для любых натуральных значений а и b. Поскольку фактически " перечислить" бесконечное множество посылок невозможно, в каждом таком " применении" Б. и. имеется элемент идеализации (проявляющийся в приведённом выше примере как раз в допущении о законности замены многоточия, являющегося обозримой конечной знаковой конструкцией, на чисто мысленный, абстрактный образ совокупности " всех натуральных чисел"), и любые обороты типа " и т. д.", заменяющие при этом к.-л. бесконечную совокупность (не обязательно состоящую из натуральных чисел), носят неэффективный и метафорич. характер. В силу этой неэффективности

Б. и. она не может непосредственно использоваться ни в дедуктивных теориях математики и логики, ни в полуэмпирических построениях естеств. наук; в первых она часто заменяется различными формами принципа математической индукции, во вторых - т. н. естественнонаучной (неполной) индукцией. Однако как инструмент теоретич., методологич. исследования Б. и. (обычно в форме т. н. правила Карнапа - по имени предложившего его в 1934 австр. логика) нашла широкие и важные применения в математич. логике. Если же совокупность посылок Б. и. задаётся нек-рым алгоритмом, то её можно использовать в качестве спец. правила вывода.

Лит. см. при статьях Индукция, Математическая индукция. Ю. А. Гостев.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ в математике, переменная величина, к-рая в данном процессе изменения становится и остаётся по абс. величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых, т. к. если у есть Б. б. величина, то обратная ей величина z = l/y является бесконечно малой. Тот факт, что переменная у является Б. б., записывают в виде lim y=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. При этом символ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (" бесконечность") является просто условным обозначением того, что у есть Б. б. величина. Возможна и др. точка зрения, в силу к-рой оо является несобственным элементом, присоединяемым к множеству действительных чисел (см. Бесконечность в математике). Применительно к функции аргумента х развёрнутое определение Б. б. звучит так: функция f(x), определённая в окрестности точки х о, наз. Б. б. при х, стремящемся к х₀, если для любого числа N> 0 найдётся такое число б > 0, что для всех х не= х₀ и таких, что | х-x₀ |< 8, выполняется неравенство | f(x)|> N. Это свойство записывается в виде limx-> x₀ f(x)=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. С. Б. Стечкин.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ в математике, переменная величина, стремящаяся к пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при к-ром данная величина становится Б. м. Напр., величина y = 1/ x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой. Если предел переменной у конечен и равен а, то lim(y-а) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z наз. эквивалентными, если lim z/y= 1; если при этом у является Б. м., то у и z наз. эквивалентными Б. м. Переменная z наз. Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z =o(y) (читается: " z есть о малое от y"). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k> 0, если предел lim z/y^k существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z наз. Б. м. порядка выше k. Изучение порядков различного рода Б. м.- одна из важных задач математич. анализа.

Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f(x), определённая в окрестности точки х₀, наз. Б. м. при х, стремящемся к х₀, если для любого положительного числа е найдётся такое положительное число 5, что для всех x не= x₀, удовлетворяющих условию | х-x ₀|< б, выполняется неравенство |f(х)l< e. Этот факт записывается в виде limf _{х-> x}0 (х)=0. При изучении функции f (х) вблизи точки Ха за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Д x = x - х₀. Формула Дy = f' (x ₀) Д x + о (Д x) выражает, напр., что приращение Д y дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = =f'(x₀)Д х.

Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в наст. время осн. методом обоснования математич. анализа, почему его и наз. также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и " неделимых" метод. Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши. При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из осн. методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классич. физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

Лит. см. при ст. Анализ математический. С. Б. Стечкин.

БЕСКОНЕЧНО УДАЛЁННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), к-рыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации нек-рых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).

Происхождение термина " Б. у. э." легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости а параллельные прямые a и а' (рис., 1) и

[ris]

прямую b, пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую bвокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к а' точка М пересечения прямых а и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчётливо поясняет часто употребляемое выражение: ч параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке".

Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости а. Для этой цели плоскость а пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а', параллельная прямой а (рис., 2), пересекается с ней в нек-рой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удалённую точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А, а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости а называют бесконечно удалённой прямой.

Плоскость а, пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость. Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (напр., на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).

Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, к-рая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961. Э.Г.Позняк.

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, произведение бесконечного числа сомножителей и₁, u ₂,..., u _n,..., т. е. выражение вида
[ris]

Б. п., в к-ром сомножителями являются числа, иногда наз. бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений р_n = u₁u₂... и_n
при n-> БЕСКОНЕЧНОСТЬ, то Б. п. наз. сходящимся, а lim р_n=р - его значением, и пишут:
[ris]

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа я. Так, франц. математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:
[ris]

а англ. математик Дж. Валлис (17 в.) -формулу:

[ris]

Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:
[ris]

Разложения функции в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при к-рых функция обращается в нуль.

Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u_n не= 0 для всех номеров п, чтобы u_N > 0, начиная с нек-рого номера N. и чтобы сходился ряд

[ris]

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.