XVII. Кино 13 страница. Инструментальная фонетика,экспериментальная фонетика, совокупность методов анализа звуковой стороны языка при помощи различной аппаратуры и др

Лит.; Гуляев А. П., Mалинина К. А., Саверина С. M., Инструментальные стали. Справочник, M., 196JU Геллер Ю. А., Инструментальные стали, 3 изд., M., 1968 (имеется библ.X

Ю. А. Геллер.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ ФОНЕТИКА, экспериментальная фонетика, совокупность методов анализа звуковой стороны языка при помощи различной аппаратуры и др. вспомогательных средств. Частоту осн. тона, длительность и интенсивность определяют осциллографом. Спектральный анализ звуков и их формантный состав осуществляют спектрометром и спектрографом. Положение языка определяют при помощи фотопалатографа и методами динамич. палатографии. Изменения частоты основного тона и интенсивности автоматически анализируются ин-тонографом. См. Фонетика.

Лит.: Бондарко Л. В., Осциллографический анализ речи, Л., 1965; Lindner G., Einfuhrung in die experimentelle Phonetik, В., 1969. Л.Р.Зиндер.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ОШИБКИ, ошибки наблюдений и измерений, обусловленные несовершенством инструментов (т. е. неизбежными отличиями реального инструмента от инструмента " идеального", представляемого его геометрич. схемой), а также неточностью установки инструмента в рабочем положении. Учёт И. о. имеет значение при измерениях, требующих высокой точности. Пренебрежение их учётом влечёт за собой систе-матич. ошибки, к-рые в значит, мере могут обесценить результаты измерений.

Особенно большое значение учёт И. о. имеет в астрономии, геодезии и др. науках, требующих точнейших измерений. В связи с этим разработка методов исследования И. о. и исключения их влияния на результаты наблюдений и измерений является одной из гл. задач теории измерит, инструментов.

И. о. могут быть подразделены на 3 категории: 1) ошибки, зависящие от несовершенства изготовления отдельных частей инструмента. Эти ошибки не могут быть ни устранены, ни изменены наблюдателем, но они тщательно исследуются, а вызываемые ими погрешности исключаются или введением соответствующих поправок, или рационально построенной методикой измерений, устраняющей их влияние на окончательные результаты. К этой категории И. р. относятся: ошибки штрихов разделённых кругов, по к-рым делаются отсчёты направлений на наблюдаемые предметы; ошибки штрихов шкал измерит, приборов; ошибки эксцентриситета, происходящие от несовпадения центра вращения разделённого круга или алидады с центром делений круга; периодич. и ходовые ошибки винтов микрометров, связанные с несовершенством их нарезки или монтировки; ошибки от прогиба частей инструмента; ошибки, связанные с оптикой инструмента: дисторсия, астигматизм, кома и др.

2) Ошибки, зависящие от погрешностей сборки и юстировки инструмента, а также от недостаточной точности его установки в положении, требуемом теорией данного способа наблюдений. К этим ошибкам относятся: коллимационная ошибка, заключающаяся в отклонении от 90° угла между визирной линией и осью вращения трубы; ошибки, связанные с наклонением горизонт, оси инструмента к горизонту и неточностью его установки в нужном азимуте; неточная центрировка линз объектива; нек-рые ошибки регистрирующей аппаратуры и др. И. о. этой категории, обнаруживаемые поверками инструмента, могут быть сведены к минимуму перемещением отдельных частей инструмента, предусматриваемым их конструкцией. Остающиеся неустранёнными малые доли этих ошибок определяются с помощью вспомогат. приспособлений (уровень, надир-горизонт, коллиматоры и т. п.) или выводятся из наблюдений (напр., ошибка азимута) и влияние их учитывается при обработке наблюдений.

3) Ошибки, связанные с изменением свойств инструмента с течением времени, в частности обусловленные изменением темп-ры; к этой же категории ошибок относится суммарный эффект всех прочих погрешностей, не учитываемых теорией инструмента. Эти И. о. наиболее сложны. Проявляясь систематически и не обнаруживаясь явно в процессе наблюдений и измерений, они особенно вредны. Выявляются они только при измерениях одних и тех же величин разными инструментами. Так, при сравнении координат звёзд, полученных из наблюдений на разных обсерваториях, или поправок радиосигналов точного времени, определённых различными службами времени, всегда обнаруживаются систематич. разности, к-рые обычно в полтора-два раза, а иногда и в пять-шесть раз превосходят присущие данным методам и инструментам случайные ошибки. Одной из важных задач является нахождение, тщательное исследование и, по возможности, устранение причин, вызывающих И. о. этой категории.

См. также Погрешности измерений.

Лит.: Блажко С. Н., Курс практической астрономии, 3 изд., М.-Л., 1951; Зверев М. С., Исследование результатов астрономических наблюдений Службы времени ГАИШ за 1941 - 44 гг., " Труды Государственного астрономического ин-та им. П. К. Штернберга", 1950, т. 18. в. 2; Щеглов В. П., Опыт исследования некоторых систематических ошибок..., " Астрономический журнал", 1950, т. 27, в. 6; Васильев В. М., О разностях температуры отдельных частей трех пассажных инструментов Службы времени, там же, 1952, т. 29, в. 6; Павлов Н. Н., О термических эффектах в перекладывающихся пассажных инструментах, там же, 1953, т. 30, в. 1.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Всесоюзный научно-исследовательский Министерства станкостроительной и инструментальной промышленности (ВНИИ), осн. в Москве в 1943. Разрабатывает научно-технич. и теоретич. основы процессов резания, конструирования, технологии производства и эксплуатации режущего инструмента, исследует инструментальные материалы и др. Самостоятельные отделы ин-та: стандартизации и нормализации; типажа; патентно-лицензионных работ. Секторы: инструмента общего назначения; инструментальной оснастки автоматических линий, агрегатных и специальных станков; зуборезного инструмента; технологический и т. д. (всего 13 секторов). Имеет заочную аспирантуру. Периодически издаёт " Сборники трудов" (с 1952), а также информац. и руководящие материалы по инструментальному делу.

ИНСТРУМЕНТОВКА, изложение муз. произведения для к.-л. инструментального состава - от камерного ансамбля до симфонич. оркестра. В широком смысле слова говорят и об И. для вокального ансамбля, хора. Чаще всего под И. понимается изложение музыки для оркестра. В том же значении нередко используется и термин оркестровка. Порою, однако, этим терминам придают разное значение, понимая под И. изложение для оркестра сочинения, специально задуманного как оркестровое, а под оркестровкой - изложение для оркестра произведения, написанного для др. состава или для к.-л. одного инструмента (напр., для фп.). И. основывается на использованиинаиболее естественных технич. и выразительных возможностей каждого инструмента, на соединении звучания однородных и разнородных инструментов, на противопоставлении контрастных звуковых красок. Эволюция И. тесно связана с развитием всего муз. иск-ва, со сменой различных стилей; в И. находят отражение и особенности творческой индивидуальности композитора, его отдельного произведения. Примерно с 17 в. стала входить в практику запись оркестровой музыки в виде партитуры; до этого инструментальный состав обычно не определялся композитором, и одно и то же соч. могло исполняться различными исполнительскими силами. Иск-во И. развивалось параллельно с обогащением муз. инструментария, совершенствованием техники сольной игры, расширением состава оркестра. Наряду с собственно оркестровыми жанрами видную роль в развитии И. играла опера. Один из важнейших этапов эволюции И. связан с творчеством композиторов венской классич. школы - И. Гайдна, В. А. Моцарта, Л. Бетховена. Особенно быстро иск-во И. развивалось в 19-20 вв. В это время поиски новых средств И. интенсивно велись в области оркестровой программной музыки. Особое значение приобретает красочность тембров и их сочетаний; в сочинениях Г. Берлиоза, Р. Вагнера, Ф. Листа, Р. Штрауса, Г. Малера увеличение оркестрового состава нередко совмещается с тонкой дифференциацией оркестровых партий. Большой вклад в области И. внесли русские композиторы классики - М. И. Глинка, Н. А. Римский-Корсаков, П. И. Чайковский, С. В. Рахманинов, А. Н. Скрябин; их традиции трактовки оркестра творчески развивают сов. композиторы.

Лит.: Каре А., История оркестровки, пер. с англ., М., 1932; Видор Ш. М., Техника современного оркестра, пер. с франц. и доп. Д. Рогаль-Левицкого, М., 1938; Римский-Корсаков Н. А., Основы оркестровки..., 2 изд., ч. 1-2, М.- Л., 1946; Глинка М. И., Заметки об инструментовке, в кн.: М. И. Глинка. Литературное наследие, т. 1, Л.- М., 1952; Василенко С. Н., Инструментовка для симфонического оркестра, т. I, M., 1952; Berlioz H., Grand traite ^instrumentation et d'orchest-ration modernes, P., 1843.

ИНСТРУМЕНТОВКА, звукопись, упорядоченный подбор звуков в стихе или в прозе, организующий художеств, единство отрезков текста: аллитерации, ассонанс, звукоподражание и т. п. См. Фоника.

ИНСУБРЫ (лат. Insubres), кельтское племя, осевшее в Сев. Италии в долине р. По ок. сер. 6 в. до н. э. (по др. источникам, в 4 в. до н.э.). Покорённые римлянами в 222 (окончательно в 194) до н. э., они были быстро романизованы.

ИНСУЛА (лат. insula, букв.- остров), многоэтажный, обычно кирпичный, жилой дом в Др. Риме, с комнатами или квартирами, предназначенными для сдачи внаём. Появились не позднее 3 в. до н. э. 3-5-этажные И. (помещения к-рых обычно компоновались вокруг светового дворика, нередко занимая целый квартал) составляли массовую застройку рим. городов.

ИНСУЛИН (от лат. insula - остров), гормон белковой природы, вырабатываемый бета-клетками Лангерганса островков поджелудочной железы. Впервые был выделен канад. учёными Ф. Бантин-гом и Ч. Вестом (1921-22). Структурная единица И.- мономер с мол. массой ок. 6000. При определении в различных условиях мол. масса И. оказывается равной 12 000 или 36 000, т. к. в зависимости от условий опыта в молекулу И. объединяется разное число мономеров. Каждый мономер содержит 51 аминокислоту, к-рые располагаются в виде двух пептидных цепей - А и В, соединённых посредством двух дисульфидных мостиков (-S-S-). Наличие этих мостиков необходимо для проявления гормональной активности И.: их разрушение приводит к потере активности. И. различных видов животных отличаются только положением нек-рых аминокислот в цепи. Структура мономера И., т. е. последовательность расположения в нём аминокислотных остатков, выяснена англ, биохимиком Ф. Сангером (1945-56). Это позволило осуществить хим. синтез И.

И. снижает содержание сахара в крови, задерживая распад гликогена и синтез глюкозы в печени. В то же время И. повышает проницаемость клеточных мембран для глюкозы, способствуя её переходу в ткани. И, повышает использование глюкозы в реакциях пентозофосфатного цикла и ускоряет синтез гликогена в мышцах. Присутствие И. в организме обусловливает преобладание синтеза белков и жирных к-т над их распадом, способствует переходу углеводов в жирные к-ты и образованию жиров. С недостатком И. в организме связано нарушение обмена веществ - диабет сахарный. При лечении диабета применяют препараты И., получаемые из поджелудочных желез убойного скота и других животных. Активность И. определяют биологически (по способности понижать содержание сахара в крови у кроликов). За единицу действия (ЕД)-интернац. единицу (ИЕ), или междунар. единицу (ME), - принимают 0, 04082 мг чистого кристаллич. препарата И. Для инъекций И. вводят подкожно или внутримышечно (при приёме через рот И. разрушается желудочным соком). Свободный И. в организме быстро инак-тивируется под влиянием фермента инсулиназы. Более продолжительным, чем И., действием (наступающим медленнее) обладают препараты И.: суспензия аморфного цинк-инсулина, раствор протамин-цинк-инсулина, суспензия протамин-инсулина и др. Малые дозы И. (также в виде инъекций) применяют при общем истощении, упадке питания и нек-рых др. заболеваниях. В пси-хиатрич. практике И. вводят для вызывания гипогликемич. состояний (см. Гипогликемия). Г. А. Соловьёва.

ИНСУЛЬТ (позднелат. insultus - приступ, от лат. insulto - скачу, впрыгиваю), остро развивающееся нарушение мозгового кровообращения, сопровождающееся повреждением ткани мозга и расстройством его функций. Наиболее частыми причинами И. являются гипер-тонич. болезнь и атеросклероз или их сочетание; нередко И. развивается при заболевании сердца, ревматизме, иногда при болезнях крови и др. Различают геморрагич. И. и ишемический И. Геморрагич. И. обусловлен кровоизлиянием в мозг; чаще он возникает при гиперто-нич. болезни. Непосредственным толчком к развитию кровоизлияния в мозг во многих случаях бывает эмоциональное или физ. перенапряжение. Излившаяся кровь отчасти разрушает, а отчасти сдавливает окружающую нервную ткань и вызывает отёк мозга. Кровоизлияние обычно сопровождается тяжёлыми общими явлениями - потерей сознания, расстройством дыхания и сердечной деятельности, рвотой. Лицо больного нередко становится багрово-красным. Наблюдаются судороги различного характера. Развиваются те или иные симптомы очагового поражения мозга - параличи конечностей, расстройства чувствительности, нарушения речи и др. В основе ишемического И. лежит размягчение мозговой ткани - мозговой инфаркт. Мозговой инфаркт развивается при закупорке мозговых сосудов атеросклеротич. бляшкой, тромбом (кровяным сгустком) или эмболом (кусочком тромба или атеросклеротич. бляшки, принесённым током крови из больного сердца или крупного кровеносного сосуда). Мозговой инфаркт может развиться также при нарушении притока крови к к.-л. области мозга вследствие сужения атеросклеротич. процессом или спазмомприносящего кровь к этой области сосуда. При этом ткань мозга в зоне поражённого сосуда перестаёт получать приносимые с кровью кислород и питат. вещества, гибнет и размягчается. Во мн. случаях в происхождении ишемич. И. большое значение имеет атеросклеротич. поражение крупных (т. н. магистральных) сосудов головного мозга, сосудов, проходящих на шее (сонные и позвоночные артерии), а также неврогенные и обменные факторы. Развитию ишемич. И. способствуют ослабление сердечной деятельности, падение артериального давления, повышение свёртываемости крови. Развитию ишемич. И. часто предшествуют, преходящие нарушения мозгового кровоснабжения, проявляющиеся кратковременными онемениями в различных частях тела, слабостью конечностей, нарушениями речи, головокружениямиили др. расстройствами. Лицо у больного при возникновении ишемия. И. бледнеет. Параличи, нарушение чувствительности, речи и др. симптомы нередко нарастают в своей интенсивности постепенно (при геморрагич. И. они возникают обычно внезапно и быстро). Сознание утрачивается лишь в очень тяжёлых случаях. Иногда для правильной диагностики и выбора целесообразного лечения необходимо исследование спинномозговой жидкости, крови и рентген ографич. исследование сосудов мозга с применением контрастных веществ (ангиография). Лечение: полный покой, строгий постельный режим; мероприятия, направленные на устранение сердечно-сосудистых расстройств, предупреждение и устранение нарушений дыхания, на улучшение кровоснабжения мозга и борьбу с отёком мозга, причём выбор методов лечения зависит от типа И. Разрабатываются хи-рургич. методы лечения кровоизлияний в мозг и устранения сужений и закупорки сосудов, ведущих к нарушениям мозгового кровообращения ишемического характера (при поражении магистральных сосудов головного мозга). Для лечения последствий И. используются лечебная гимнастика, массаж, занятия с логопедом и др. Профилактика И.: правильный режим труда, отдыха и питания, устранение нервно-психического перенапряжения, лечение общего сосудистого заболевания.

Лит.: Лурье 3. Л., Расстройства мозгового кровообращения, 2 изд., М., 1959; Боголепов Н. К., Сосудистые заболевания нервной системы, в кн.: Многотомное руководство по неврологии, т. 4, ч. 1, М., 1963; Шмидт Е. В., Стеноз и тромбоз сонных артерий и нарушения мозгового кровообращения, М., 1963; Нарушения мозгового кровообращения и их хирургическое лечение, М., 1967. Д.К.Лунев.

ИНСЦЕНИРОВКА [от лат. in - в, на и scaena (scena) - сцена], 1) переработка для сцены лит. произведения, написанного не в драматургич. форме. В отличие от вольного использования эпич. мотивов, как то было в антич. драме или у У. Шекспира, И. имеет целью не столько создание нового самостоят, произведения, сколько театральную адаптацию прозы. Первые значит. И. в России принадлежат А. А. Шаховскому (переработки произв. В. Скотта и А. С. Пушкина). Отвергнув тип ремесл. переделки романов в " хорошо скроенные пьесы", характерной для 2-й пол. 19 в., В. И. Немирович-Данченко на сцене МХТ искал романную форму спектакля, ставил И.-монтажи. Инсценировочные принципы - объединение контрастных эпизодов, более свободная и ёмкая конструкция, многочастность - повлияли на сов. драму. Мн. её первенцы явились авторскими И., в т. ч. " Виринея" Л. Н. Сейфуллиной (совм. с В. П. Прав-духиным, 1925), " Дни Турбиных" М. Булгакова (1926), " Бронепоезд 14-69" В. В. Иванова (1927). В сер. 20 в. распространены И. документ, прозы. 2) Одна из форм массового агитац. театра в годы революции: на площадях, сливая зрителей с исполнителями, разыгрывались инсценированные моменты истории и суды над реальными или символич. фигурами (" Свержение самодержавия", 1919).

Этим И. присущи романтическая символика, условность, сочетание патетики и гротеска.

ИНТА, город в Коми АССР. Расположен на лев. берегу р. Большая Инга (басе. Печоры), в 12 км от ж.-д. ст. Инта, в 50 км к Ю. от Сев. полярного круга. 51 тыс. жит. (1972). Добыча угля (Печорский басе.), ремонтно-механич. завод, деревообр. комбинат, предприятия стройматериалов, ТЭЦ, птицефабрика. Индустриальный техникум. Народный театр. На прав, берегу реки пригородное подсобное х-во (молоко, мясо). Посёлок И. образован в 1940, город - с 1954.

Лит.: Гулецкий Г. П., Инта, Сыктывкар, 1968.

ИНТАЛИЯ (от итал. intaglio - резьба), резной камень (гемма) с углублённым изображением. И. служили гл. обр. печатями. Появились в 4-м тыс. до н. э. (в странах Др. Востока), широко распространились в период античности. Илл. см. к ст. Глиптика.

ИНТАРСИЯ (от итал. intarsio - инкрустация), вид инкрустации на деревянных предметах (мебели и т. д.): фигурные изображения или узоры из пластинок дерева, разных по текстуре и цвету, врезанных в поверхность деревянного предмета. Наивысшего расцвета И. достигла в Италии в 15 в.

Лит.: Krauss F., Intarsien, 3. Aufl., Lpz., 1958.

Интарсия. Исповедальня. Италия.

Ок. 1500. Музей Виктории и Альберта. Лондон.

ИНТЕГРАЛ (от лат. integer-целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (напр., находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределённые и определённые И., вычисление к-рых является задачей интегрального исчисления.

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f(x) одного действительного переменного - функция F(x), производная к-рой при каждом значении х равна f(x). Прибавляя постоянную к первообразной к.-л. функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(X) функции f(x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(X) + С. Это общее выражение первообразных называют

неопределённым интегралом:

[ris]

функции f(x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f(x) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл. Определённый И. функции fix) с нижним пределом а и верхним пределом Ь можно определить как разность

[ris]

где F(X) есть первообразная функции f(x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f(x) непрерывна, то приведённое определение в случае а< b равносильно следующему определению, данному О. Каши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками

[ris]

в каждом отрезке [x_i-1, x_i] (i= 1, 2,..., n) берут произвольную точку и образуют сумму [ris]

[ris]

Сумма S_n зависит от выбора точек x_i и [ris]. Однако в случае непрерывной функции f(x) суммы S_n, получающиеся при различном выборе точек x_i и [ris], стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x_i- x_i-1 стремится к нулю при [ris]. Этот предел и является определённым интегралом

[ris]

По определению,

[ris]

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(X). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

[ris]

где а - произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределённый И. записывается в виде

[ris]

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределённых и определённых И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

[ris] (6)

предел сумм S_n при [ris] во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Римом. (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им

понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f(x) на [а, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f(x) ограничена на [а, b]; множество помещающихся на [а, b] точек разрыва функции f(x) имеет меру, равную нулю. T. о., непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(X) не обязана иметь подинтегральную функцию f(x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f(x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

[ris]

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, к-рое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы [ris] (наз. суммами Дарбу)

где M_k- верхняя грань функции f(x) нa отрезке [x_k-1, x_k], a m_k - нижняя грань f(x) на том же отрезке. Если [ris] нижняя грань сумм [ris], а [ris] - верхняя грань сумм [ris] то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие [ris] Общее значение [ris] величин _

[ris]

и является интегралом Римана (6). Сами величины [ris] называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

[ris]

область возможных значений переменного у = f(x) и обозначает M_i множество тех точек x из отрезка [a, b], для к-рых

[ris]

Сумма S определяется равенством

[ris]

где [ris] берётся из отрезка [ris] а Ii(Mt) обозначает меру множества Mt. Функция f(x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [а, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max [ris]. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6)..Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(X), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) 45удет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в матем. анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. T. о., для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности матем. анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

[ris]

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математич. анализа; напр., только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрия, рядов, в силу к-рой любой ряд

[ris]

для к-рого

[ris]

представляет функцию f(x), порождающую коэффициенты a_n и b_n по формулам

[ris]

где И. понимаются в смысле Лебега.

Интеграл Стилтьеса. В кон. 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к к-рому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано T. Стилтьесом (1894). Пусть f(x)- непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [а, Ь], и U(x)- определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [а, b] и составляют сумму

[ris]

где [ris] - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x_o, x₁], [x₁, x₂],..., [x_n-1, x_n]. Пусть [ris] - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для к-рой S стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки [ris] ..., [ris] на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f(x)

относительно функции U(x) и обозначают символом

[ris]

Интеграл (9) (его называют также и н-тегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U₁ (х) и U₂(x):

[ris]

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции). Если интегрирующая функция U(x) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

[ris]

В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классич. кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамич. систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть X - пространство, в к-ром выделена определённая система В его подмножеств, называемых " измеримыми", причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть ц - конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции [ris] принимающей конечное или счётное число значений y₁, у₂,..., у_n..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A₁,..., A_n,.... сумма к-рых есть X, интеграл функции f(x) по мере [ris], обозначаемый

[ris]

определяется как сумма ряда

[ris]

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём нек-рого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций. Пусть А - измеримое множество и [ris] для х, принадлежащих А, и [ris] для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f(x) по множеству А определяют, полагая

[ris]

При фиксированных мю. и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал; при фиксированном f И., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подхо-

дит для определения такого понятия, как матем. ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистая, гипотез. И. по отношению к т. н. мере Вивера и различным её аналогам используют в статистич. физике (здесь в качестве X фигурирует пространство непрерывных на к.-л. отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f| оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.