XVII. Кино 14 страница. Обобщения первоначального понятия И

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неогранич. функций. Ещё Коши " случае функции f(x), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

[ris]

когда а< с< b, как предел выражения

[ris]

при [ris]. Аналогично И. с бесконечными пределами

[ris]

определяется как предел И.

[ris]

при [ris]. Если при этом не требуется интегрируемости |f(x)|, т. е. f(x) интегрируема " не абсолютно", то это определение Коши не поглощается лебе-говским.

Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.- Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., M., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., M., 1959; Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., M., 1960; Pудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., M., 1966; Данфорд H., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., M., 1962; He-в ё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., M-, 1969; Fеdегеr H., Geometric measure theory, B.- HdIb. - N. Y.. 1969. Под редакцией академика A. H. Колмогорова.

ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ, название нескольких связанных друг с другом спец. функций. Интеграл

[ris]

называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с матем. ожиданием О и дисперсией [ris], вероятность неравенства [ris] равна [ris]. Наряду с этим название И. в. употребляют для интегралов

Последнюю [ris] функцию обозначают обычно erf(x) (от error function - " функция ошибок").

Лит.: Большее Л. H., Смирнов H. В., Таблицы математической статистики, M., 1965.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, в к-ром изучаются век-рые спец. числовые.характеристики

(" меры") для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрия, объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом " мера" должна удовлетворять требованиям: 1) аддитивности (мера множества, состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей), 2) инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры). К И. г. относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объёмов, решаемые посредством интегрирования (соответственного простого, двойного и тройного).

Толчком для развития И. г. послужили задачи, относящиеся к т. н. геометрическим вероятностям, определяемым как отношение меры множества благоприятных случаев к мере множества всех возможных случаев (по аналогии с классич. определением вероятности, как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев). Первым и наиболее известным примером является " задача Бюффона" (1777): на плоскость, покрытую рядом параллельных прямых, среди к-рых каждые две соседние находятся на расстоянии h, падает случайным образом тонкая цилиндрическая игла, длина / к-рой меньше расстояния h между параллелями; какова вероятность того, что игла пересечёт одну из этих прямых. Эта задача равносильна следующей: какова вероятность того, что наудачу взятая секущая круга (диаметра /г) пересечёт данный отрезок длины l< h с серединой в центре круга. Эту вероятность определяют как отношение " меры" множества прямых, пересекающих данный отрезок, к " мере" множества прямых, пересекающих данный круг. " Меру" множеств прямых, состоящих из секущих выпуклых фигур с контурами конечной длины, вводят так, чтобы выполнялись сформулированные выше два требования: аддитивности и инвариантности.

В случае множества всех прямых, пересекающих прямолинейный отрезок, мера этого множества должна быть, в силу инвариантности относительно движений, функцией только длины отрезка. Из требования аддитивности меры следует, что эта функция f(x) должна быть аддитивной: f(x + y) = f(x) + f(y), а отсюда

вытекает f(x) = Cx, где С - постоянная. Итак, на плоскости мера множества всех прямых, пересекающих данный отрезок, должна быть пропорциональна его длине. Коэффициент пропорциональности удобно принять равным 2, т. е. условиться, что за меру множества прямых, пересекающих отрезок длины 1, принимается число 2. Тогда мера множества прямых, пересекающих любой отрезок, окажется равной удвоенной его длине.

Рассматривая множество прямых, пересекающих (каждая в двух точках) контур нек-рого выпуклого многоугольника, можно вывести, что мера рассматриваемого множества равна просто периметру.

Переходя, наконец, к множеству прямых, пересекающих выпуклую замкнутую линию (" овал"), нетрудно установить, что на плоскости мерой множества прямых, пересекающих данную выпуклую линию, должна быть длина этой линии.

В задаче Бюффона имеют в качестве меры множества благоприятных случаев удвоенную длину (2l) иглы, а для меры множества возможных случаев - длину (лh) окружности диаметра h; поэтому

искомая вероятность р = 2l/лh. Этот результат не раз проверялся на опытах с бросанием иглы. В одном из таких опытов было произведено 5000 бросаний; при I - 36 мм, h = 45 мм получилась частота пересечений 0, 5064, что даёт приближённое значение для [ris]

С нек-рыми видоизменениями изложенная теория может быть перенесена на множества прямых, пересекающих невыпуклые контуры. Вообще, для двух-параметрич. множеств прямых на плоскости мера (ц) может быть определена формулой [ris], где р, ф - полярные координаты проекции полюса на прямую. Если прямая задана уравнением [ris] (x, у - прямоугольные

координаты точки), то

В кон. 19 - нач. 20 [ris] вв. исследования по И. г. ещё связаны с геометрическими вероятностями (работы англ, математика M. Крофтона, франц. математика А. Пуанкаре), но уже в работе франц. математика Э. Картана (1896) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20-х гг. 20 в. складываются в самостоятельную теорию с разнообразными приложениями: к геометрии " в целом", прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрич. оптике и теории излучения.

Лит.: Бляшке В., Лекции по интегральной геометрии, пер. с нем., " Успехи математических наук", 1938, в. 5; Вlasсhkе W., Vorlesungen iiber Integralgeometrie, H. 2, В.- Lpz., 1937. Я.С.Дубнов.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ КРИВАЯ, кривая, изображающая геометрически решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. См. Дифференциальные уравнения.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, специальная функция, определяемая интегралом

Этот интеграл [ris] не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если х> 0, то интеграл понимается в смысле главного значения:

[ris]

Лит. см. при статье Интегральный логарифм.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ СХЕМА, интегральная микросхема, микроминиатюрное электронное устройство, все или часть элементов к-рого нераздельно связаны конструктивно и соединены между собой электрически. Различают 2 осн. типа И. с.: полупроводниковые (ПП) и плёночные.

ПП И. с. (рис. 1) изготавливают из особо чистых ПП материалов (обычно кремний, германий), в к-рых перестраивают саму решётку кристаллов так, что отд. области кристалла становятся элементами сложной схемы. Маленькая пластинка из кристаллич. материала размерами ~ 1 мм² превращается в сложней-ший электронный прибор, эквивалентный радиотехнич. блоку из 50-100 и более обычных деталей. Он способен усиливать илл генерировать сигналы и выполнять MH. др. радиотехнич. функции.

Технология изготовления ПП И. с. обеспечивает одновременную групповую обработку сразу большого количества схем. Это определяет в значит, степени идентичность схем по характеристикам.

ПП И. с. имеют высокую надёжность за счёт использования планарного процесса изготовления и значит, сокращения числа микросоединений элементов в процессе создания схем.

[ris]

Рис. 1. Поперечное сечение и электрическая схема полупроводниковой интегральной схемы. На рис. сгущёнными точками показаны слои проводников тока из алюминия; разреженными точками показаны слои полупроводника из двуокиси кремния; косыми линиями показаны слои кремния с проводимостью п, с повышенной проводимостью n⁺ и р - типов; участок полупроводника (подложка)с проводимостью р - типа а образует конденсатор б, транзистор в, резистор г; цифрами отмечены участки интегральной схемы, соответственно обозначенные на электрической схеме.

ПП И. с. развиваются в направлении всё большей концентрации элементов в одном и том же объёме ПП кристалла, т. е. в направлении повышения степени интеграции И. с. Разработаны И. с., содержащие в одном кристалле сотни и тысячи элементов. В этом случае И. с. превращается в большую интегральную систему (БИС), к-рую невозможно разрабатывать и изготовлять без использования электронных вычислительных машин высокой производительности.

Плёночные И. с. создаются путём осаждения при низком давлении (порядка 1*10^-5 мм рт. ст.) различных материалов в виде тонких (толщиною < 1 мкм) или толстых (толщиной > 1 мкм) плёнок

[ris]

Рис. 2. Поперечное сечение и электрическая схема гибридной интегральной схемы. На рис. разреженными точками показаны слои полупроводника из окиси кремния; вертикальными разреженными линиями показан слой хрома; вертикальными сгущёнными линиями показан слой из хромистого никеля (NiCr); горизонтальными линиями показаны слои проводников тока из золота или серебра; на' керамической подложке а выполнены конденсатор 6, транзистор в, резистор г; цифрами отмечены участки интегральной схемы, соответственно обозначенные на электрической схеме.

на нагретую до определённой темп-ры полированную подложку (обычно из керамики). В качестве материалов применяют алюминий, золото, титан, нихром, окись тантала, моноокись кремния, ти-

танат бария, окись олова и др. Для получения И. с. с определёнными функциями создаются тонкоплёночные многослойные структуры осаждением на подложку через различные маски (трафареты) материалов с необходимыми свойствами. В таких структурах один из слоев содержит микрорезисторы, другой - микроконденсаторы, неск. следующих - соединит, проводники тока и др. элементы. Все элементы в слоях имеют между собой связи, характерные для конкретных радиотехнич. устройств.

Плёночные элементы распространены в гибридных И. с. (рис. 2). В этих схемах на подложку сначала наносятся в виде тонких или толстых плёнок пассивные элементы (резисторы, конденсаторы, проводники тока), а затем с помощью микроманипуляторов монтируют активные элементы - оескорпусные ПП микроэлементы (транзисторы и диоды).

По своим конструктивным и электрич. характеристикам ПП и гибридные И. с. дополняют друг друга и могут одновременно применяться в одних и тех же радиоэлектронных комплексах. В целях защиты от внеш. воздействий И. с. выпускают в защитных корпусах (рис. 3). По количеству элементов различают И. с.:

1-й степени интеграции (до 10 элементов),

2-й степени интеграции (от 10 до 100) и т. д.

Размеры отд. элементов И. с. очень малы (порядка 0, 5-10 мкл) и подчас соизмеримы с размерами пылинок (1- 100 мкм). Поэтому производство И. с. осуществляется в особо чистых условиях. О технологич. процессах изготовления И. с. см. в ст. Микроэлектроника.

Создание И. с. развивается по неск. направлениям: гибридные И. с. с дискретными активными элементами; ПП И. с., выполненные в монолитном блоке ПП материала; совмещённые И. с., в к-рых активные элементы выполнены в монолитном блоке ПП материала, а пассивные элементы нанесены в виде тонких плёнок; плёночные И. с., в к-рых активные и пассивные элементы нанесены на подложку в виде тонких плёнок. О применении И. с. см. в ст. Интегральная электроника.

Лит.: Колосов А. А., Горбунов Ю. И., Наумов Ю. E., Полупроводниковые твердые схемы, M-, 1965; Интегральные схемы. Принципы конструирования и производства, пер. с англ., под ред. А. А. Колосова, M., 1968; Интегральные схемы. Основы проектированиями технологии, пер. с англ., под ред. К. И. Мартюшова, M., 1970. И.Е.Ефимов.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОНИКА, интегральная микроэлектроника, область электроники, решающая проблемы конструирования, изготовления и применения интегральных схем и функциональных устройств. И. э. представляет собой дальнейший этап развития технологии изготовления полупроводниковых приборов на основе применения высокопроизводит. групповых технологич. процессов (см. в ст. Микроэлектроника). Осн. разработки в области И. э. направлены на создание: интегральных схем (полупроводниковых, плёночных, гибридных), 'функциональных интегральных узлов, молектронных и оптоэлектронных устройств, ионных приборов (см. Молекулярная электроника и Оптоэлектроника).

Наиболее развита полупроводниковая и плёночная (гибридная) микроэлектроника, обеспечивающая массовое пром. производство стандартных интегральных схем. Особенности развития этих направлений заключаются в непрерывном повышении функциональной сложности и увеличении степени интеграции схем. Оба направления тесно взаимосвязаны и дополняют друг друга. Функциональные интегральные узлы, молектронные и оп-тоэлектронные устройства являются дальнейшим развитием интегральной технологии на основе методов полупроводниковой и плёночной технологии. Интегральные схемы широко применяют в ЭВМ, контрольно-измерит. аппаратуре, бытовых радиоэлектронных приборах, аппаратуре связи и мн. др. Одним из перспективных направлений И. э. является диэлектрическая электроника.

Лит.: Микроэлектроника, Сб. ст., под ред. Ф. В. Лукина, в. 1, M., 1967; Введение в микроэлектронику, пер. с англ., под ред. И. П. Степаненко, M., 1968. К. Я. Прохоров.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в к-ром изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей матем. анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S " криволинейной трапеции" - фигуры ABCD (см. рис. на стр. 304), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение к-рой у = f(x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и ВС. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [а, b]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками [ris], обозначая длины этих участков [ris], [ris]; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами [ris], [ris], где [ris] - нек-рая точка из отрезка [x_k-1, x_k] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; [ris] - его высота). Сумма S_n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

[ris]

или, применяя для сокращения записи символ суммы [ris] (греч. буква " сигма"):

[ris]

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины дельта x_к участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти предел сумм S_n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин дельта x_к стремится к нулю.

[ris]

Отвлекаясь от геометрич. содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, 6], как к пределу интегральных сумм S_n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

[ris]

Символ [ris] (удлинённое S - первая буква слова Summa) наз. знаком интеграла, f (х) - подинтегральной функцией, числа а и b наз. нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = Ь, то, по определению, полагают

[ris]

кроме того,

[ris]

Свойства определённого интеграла:

[ris]

(k - постоянная). Очевидно также, что

[ris]

(численное значение определённого интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования).

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи " нахождения квадратур"), длин дуг кривых (" спрямление кривых"), площадей поверхностей тел, объёмов тел (" нахождение кубатур"), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Напр., длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f(x) на отрезке [а, b], выражается интегралом

[ris]

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox, - интегралом

[ris]

поверхность этого тела - интегралом

[ris]

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Нек-рые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (напр., трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей.любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графич. методы (см. Графические вычисления).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на нек-рые классы неограниченных функций. Такие обобщения наз. несобственными интегралами.

Выражения вида

[ris]

где функция f(x, а) непрерывна по х, наз. интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., напр., Гамма-функция).

Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная к-рой равна данной функции. T. о., функция F(x) является первообразной для данной функции f(x), если F'(x)= f(x) или, что то же

самое, dF(x)= f(x) dx. Данная функция f(x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f(x) содержатся в выражении F(X) + С, к-рое называют неопределённым интегралом от функции f(x) и записывают

[ris]

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

[ris]

(" интеграл с переменным верхним пределом"), есть одна из первообразных под-интегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):

[ris]

выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений к.-л. первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда [ris] следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где С, т, a, k- постоянные и [ris], а> 0).

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, " в конечном виде". И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из к-рых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках матем. анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от к-рых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

[ris]

где P(x) и Q(X) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, напр, функции, рационально зависящие

от [ris] их или же от х и рациональных степеней дроби [ris]. В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, напр, рациональные функции синуса и косинуса. Функции, к-рые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., напр., Интегральный логарифм, Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).

Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции)к вектор-функции (см. Векторное исчисление).

О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл, Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решён математиками Др. Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Cp. и Бл. Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на лат. и греч. яз.), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный " неделимых" метод был возрождён И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Вал-лисом, Б. Паскалем. Методом " неделимых" был решён ряд геом. и механич. задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол я-й степени, а затем - работы X. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геом. эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин " интегральное исчисление" и обозначение интеграла [ris]

При этом в работах Ньютона осн. роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера. В нач. 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики M. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению осн. понятий И. и. (Б. Pu-ман, А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., M., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., M., 1966; Строй к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., M., 1969; Cantor M., Уог-lesungen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.-В.. 1901-24.

Работы основоположников и классиков И. и. НьютонИ., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., " Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1 - 3, M., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, M., 1967; Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, M., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, M., 1967; Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., M., 1964.

Под редакцией академика A. H. Колмогорова.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ СТЕРЕОКИНО, сте реоскопич. кино, в к-ром объёмно-прост-ранств. образ создаётся в результате одновременной проекции на растровый экран не двух, как в однопарном стереоскопич. кино, а многих плоских взаимосвязанных между собой изображений (кадров), хотя зритель видит из них в каждое мгновение только 2 изображения: одно - левым, а другое - правым глазом. Метод И. с. впервые в мире был предложен в 1962-63 сов. изобретателем безочкового стереоскопич. кино С. П. Ивановым и совершенствовался им в последующие годы. В 1965 был продемонстрирован эксперимент, кинофильм (реж. H. В. Экк), снятый интегральным методом, а в 1972 в Москве (кинотеатр " Октябрь") впервые демонстрировался короткометражный видовой кинофильм " По Южному берегу Крыма", снятый также интегральным методом (реж. и оператор H. И. Большаков).

При наиболее простом способе съёмки И. с. на 8-, 16- или 35-мм киноплёнку применяется обычный (однообъективный) съёмочный аппарат с любыми объективами. В нём изменяется только рамка, ограничивающая поле зрения визира в соответствии с выбранным стереоскопич. экраном. Особенность процесса съёмки заключается в том, что съёмочный аппарат устанавливается не обычно, а поворачивается вокруг оптич. оси объектива на 90° для обеспечения горизонтального продвижения киноплёнки, необходимого при проекции, и перемещается в горизонтальной плоскости вокруг центрального объекта композиции (рис. 1). Скорость перемещения камеры

[ris]

Рис. 1. Схема съёмки кинофильма интегральным методом: А - сверху вниз (в вертикальной плоскости); Б - в сторону (в горизонтальной плоскости); 1, 2, 3, 4 - центральные объекты композиции. Стрелками показаны пути перемещения съёмочного аппарата при съёмке в сторону (I) и сверху вниз (II); обоюдоострыми стрелками показан быстрый переход с одной визирной точки (центрального объекта) на другую.

может быть рассчитана по формуле: v = L *K/10 • f'_с, где v - скорость движения камеры (мм/сек), L - расстояние до центрального объекта композиции (мм), К - частота смены кадров (кадр/сек), [ris] - сопряжённое фокусное расстояние (мм). По этой формуле могут быть составлены таблицы для наиболее характерных или часто встречающихся случаев съёмки. При съёмке допустимы 2-3-кратные отклонения от параметров, указанных в формуле. Простейший контроль правильности такой съёмки заключается в том, что видимые в визире перемещения самых ближних и самых удалённых объектов (относительно неподвижного центрального объекта) от одной границы кадра к другой должны происходить за время не более 10 сек и не менее 2 сек.

При проекции на растровый экран киноплёнка продвигается горизонтально с обычной частотой смены кадров (24 кадр/сек) мимо неск. взаимосвязанных объективов. Кол во объективов определяется оптич. параметрами растрового экрана. Так, при проекции на растровый экран с перспективным линзовым растром (рис. 2) достаточно от 5 до 10 объективов. В этом случае на любое кресло зрительного зала придётся от 5 до 10 элементарных взаимосвязанных фокальных зон, составляющих в целом интегральную зону стереоскопич. видения (о фокальных зонах см. в ст. Стереоскопическое кино). Посредством экрана образуется до 50 интегральных зон или 400-500 элементарных фокальных зон. Такое количество зон обеспечивает нормальные условия просмотра кинофильма зрителем: при отклонении зрителя вправо или влево стереоскопический эффект не пропадает, что неизбежно при однопарной безочковой стереоскопической проекции, а напротив, подчёркивается за счёт естественного перемещения ближних предметов относительно дальних, т. е. в полном соответствии с тем, что наблюдается в жизни.