Экономич. география 15 страница

С. T. Калтахчян.

НАЦУМЭ Сосэки (лит. имя; наст, имя Кинноскэ) (5.1.1867, Токио, -9.12. 1916, там же), японский писатель. Выступил как поэт в жанре хокку. Первый роман " Ваш покорный слуга кот" (1905- 1906, рус. пер. 1960) - сатира на япон. интеллигенцию. В повести " Мальчуган" (1906, рус. пер. 1960) H. рисует неопытного юношу-учителя в столкновении с затхлой провинц. средой. H. развил своё эстетич. учение о красоте, противопоставив его утилитарным идеалам современности (повесть " В дороге", 1906). Трагедия япон. интеллигента, подавленного внешним превосходством зап.-европ. культуры и в то же время ещё не освободившегося от старых феод, оков, наделённого чуткой совестью, становится гл. темой психочогич. романов H.: трилогия " Сансиро" (1908), " 3атем" (1909), " Врата" (1910) - вся в рус. пер. 1973; " Сердце" (1914, рус. пер. 1935), неоконч. роман " Свет и тьма" (1916).

Лит.: История современной японской литературы, M., 1961; Конрад H., Японская литература, M., 1974; Г р и в н и н В., Нацумэ Сосэки. Биобиблиографический указатель, M., 1959. H. Г. Иваненко.

" НАЧАЛА" ЕВКЛИДА (греч. Stoicheia, букв.- азбука; переносное значение - основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трёхсотлетнему развитию греч. математики и создал прочный фундамент для дальнейших математич. исследований. " Н." E. не являются, однако, энциклопедией матем. знаний своей эпохи. Так, в " Н." E. не излагается теория конич. сечений, к-рая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

" Н." E. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрич. понятий и объектов (напр., точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путём их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения нек-рых элементарных построений, напр, " что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию" (I постулат); " И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг" (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): " И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых". Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ H. И. Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не выпочняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в " Н." E. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Напр.: " Равные одному и тому же равны и между собой" (1-я аксиома); " И целое больше части" (8-я аксиома).

С совр. точки зрения система аксиом и постулатов " Н." E. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения " Н." E. полностью выяснились лишь в кон. 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. лет " Н." E. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

" Н." E. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются осн. свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой. В книге II излагается т. н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраич. символика в " Н." E. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским', её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й пол. 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге X даётся классификация квадратичных и биквадратич-ных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значит, часть книг X и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (нач. 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к " Н." E. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом " Н." E.

" Н. " E. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст " Н." E. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й пол. 9 в.). В кон. 8 в. - нач. 9 в. появляются переводы " Н." E. на араб. язык. Первый перевод на лат. язык был сделан с арабского Ателхардом Бат-ским в 1-й четв. 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст " Н." E. точно не восстановлен. Первое печатное издание " Н." E. в переводе Дж. Кампано на лат. язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен ок. 1250-1260; Кампано использовал как араб, источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гей-берга (" Euclidis Elementa", v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в к-ром приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На рус. яз. " Н." E. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - " Начала Евклида", пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, M., 1970. И. Г.Башмакова, А. И. Маркушевич.

" НАЧАЛО", революц. газета. Издавалась нелегально в Петербурге в марте - мае 1878. Вышло 4 номера. Тираж 500 экз. Издатели А. А. Астафьев, Л. К. и H. К. Бух, А. И. Венцковский, И. А. Головин, В. В. Луцкий - народники-бакунисты, не принадлежавшие к к.-л. орг-ции. Фактич. ред. Л. К. Бух. В ред. участвовал H. E. Каронин-Петропавловский. В числе авторов: П. В. Засодимский, E. С. Фёдоров и др. Объявив себя внефракц. органом рус. социалистов, газ. " Н.вставила целью" критику явлений существующего общественного строя". Газета освещала события освободит, движения в России и социалистич. движения на Западе, рассказывала о положении политических ссыльных, о репрессиях правительства, вела полемику с либеральной печатью. Текст " Н." перепечатан В. Богучарским в кн.: " Революционная журналистика семидесятых годов" (1905).

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА, общеобразовательное учебно-воспитательное учреждение для детей, дающее начальное образование (элементарные знания в области родного языка, математики, а также о природе и обществе); в современных системах народного образования большинства стран H. ш. (нач. классы) является первой ступенью обязательного всеобщего обучения. Возраст детей, поступающих в H. ш., и сроки обучения в ней в разных странах неодинаковы. В Великобритании, напр., обучение детей начинается с 5 лет в т. н. школах для малышей, из которых после двухлетнего обучения дети переходят в H. ш.- классы (4 года). Во Франции обучение начинается с 6-летнего возраста и осуществляется в H. ш. по единой программе в течение 5 лет. В элементарные школы США принимаются дети с 6 лет, они проходят 6- или 8-летний (в школах небольших населённых пунктов) курс обучения. В большинстве стран Латинской Америки курс H. ш., как правило, 6-летний, в отдельных странах (Колумбии, Перу, Доминиканской Республике, Бразилии) - 5-летний, в H. ш. (классы) принимаются дети с 6 лет. В Италии обязательными для детей 6-летнего возраста являются 3-летние школы (первый цикл H. ш.), полный курс обучения осуществляется в течение 4-5 лет. В H. ш. (классах) социалистич. стран обучение детей начинается с 6 (напр., Венгрия, Чехословакия, ГДР) или с 7 лет (СССР, Польша, Румыния, Болгария). Курс нач. обучения в большинстве социалистич. стран - 3-4 года.

Первые H. ш. на территории, ныне входящей в состав СССР, возникли в 4 в. в Грузии и Армении, в России - в 9-11 вв. Школы для обучения детей грамоте, чтению церк. книг и песнопению создавались при церквах и монастырях; большую роль в распространении грамотности (особенно в 14-16 вв.) играли мастера грамоты, к-рые обучали детей в семьях или создавали небольшие школы у себя на дому.

В 1701 в Москве была основана Школа математических и навигацких наук. Нач. классы школы представляли собой две последовательные ступени: " русская школа" (чтение и письмо) и " цифирная школа" (счёт и начала арифметики и геометрии). С 1714 стали учреждаться цифирные школы для детей всех сословий, кроме крестьян. В этих школах дети получали нач. матем. знания, обучались чтению, письму. К сер. 18 в. цифирные школы пришли в упадок, нек-рые из них были объединены с гарнизонными школами, где обучались дети солдат. Представители прогрессивной части общества (И. T. Посошков, В. H. Татищев и др.) выступали за необходимость нач. образования для детей крестьян. В 1782 была организована " Комиссия об учреждении училищ", разработавшая под руководством Ф. И. Янковича де Мириево " Устав народных училищ" (1786). Согласно уставу, в губернских городах открывались главные народные училища с 5-летним сроком обучения, в уездных - малые народные училища (2 года). Вводилась классно-урочная система обучения, впервые применённая в братских школах Зап. Украины и Белоруссии в 16 в. Появились новые учебники, наглядные пособия. Устав, принятый в 1804, предусматривал создание единой бессословной системы общеобразоват. школ. В основе системы были приходские училища, учреждаемые в городах и значительно реже в сёлах, а также уездные училища. Устав 1828 сохранил эти типы уч. заведений, но они уже не представляли единой системы, приобрели сословный характер (приходские уч-ща предназначались для низших сословий, уездные - для средних). Устав направлял всю деятельность школы на укрепление основ " православия, самодержавия и народности". Прогрессивная общественность выражала недовольство системой образования народа и требовала её реформы. Пр-во в нач. 60-х гг. 19 в. вынуждено было приступить к разработке проекта реформы школы (как составной части бурж. реформ 60-70-х гг.). В 1864 было утверждено " Положение о начальных народных училищах". Перед H. ш., как и прежде, ставилась задача утверждать в народе религ. понятия и распространять первоначальные знания. Вводился единый уч. план, к-рый включал закон божий, чтение церк. и гражд. книг, счёт (4 арифмс-тич. действия), церк. пение. Обучение в школах допускалось только на рус. яз. H. ш. объявлялась бессословной, разрешалось открывать школы самоуправлениям, об-вам и частным лицам, назначать учителями не только мужчин, но и женщин. Все H. ш. по новому Положению переходили в ведение Мин-ва нар. просвещения, за исключением церковноприходских школ, к-рые оставались в ведении Святейшего синода. Для руководства H. ш. на местах учреждались уездные и губернские училищные советы. H. ш. составляла особую систему образования нар. масс, не связанную со средней школой.

Большой вклад в дело развития нач. обучения внесло общественно-пед. движение 60-х гг. Значительно выросло число приходских уч-щ и т. н. воскресных школ. К этому времени относится выход в свет книг К. Д. Ушинского " Родное слово" и " Детский мир", сыгравших огромную роль в становлении рус. H. ш Развитие H. ш. в 60-70-х гг. тесно связано с деятельностью земств. За 1865-74 в 34 губерниях, где были учреждены земства, сеть H. ш. значительно увеличилась. Земские школы считались лучшими по постановке уч.-воспитательной работы. В них не только обучали чтению, письму. и счёту, но и давали сведения по естествознанию, географии и истории. Земства снабжали школы наглядными пособиями и учебниками, книгами для чтения, на писанными К. Д. Ушинским, Л. H. Толстым и др. прогрессивными педагогами, проявляли заботу о повышении квалификации учителей. Однако эта деятельность земств вызвала недовольство в правительств, кругах. В 1874 было утверждено новое " Положение о начальных народных училищах", к-рое действовало до 1917. Земствам не разрешалось вмешиваться в уч.-воспитательную работу школ, их деятельность в области нар. образования ограничивалась решением хозяйственных вопросов. С 80-х гг. правительство и церковь стали усиленно насаждать церков-но-приходские школы как наиболее благонадёжные.

После победы Окт. революции 1917 управление школами было передано Нар. комиссариату просвещения, а на местах - отделам нар. образования Советов рабочих и крестьянских депутатов. В 1918 был издан декрет Совнаркома об отделении церкви от гос-ва и школы от церкви. Все расходы на содержание школ гос-во взяло на себя.

В нач. 30-х гг. введено всеобщее обязательное нач. обучение. Первоначально H. ш. имела 5-летний срок обучения, установленный " Положением о единой трудовой школе" (1918). В связи с созданием в системе нар. образования 7-летней школы (1923) срок обучения в H. ш. сократился до 4 лет; с конца 60-х гг. (после большой экспериментальной проверки) - до 3 лет.

H. ш. в СССР и соответствующие классы 8-летних и средних школ - органич. часть единой общеобразоват. трудовой политехнич. школы. Преемственность всех ступеней школы обеспечивается полной согласованностью уч. планов и программ и единством принципов организации учебно-воспитательной работы на основе общих задач коммунистического воспитания подрастающего поколения. H. ш. создаются в основном в небольших населённых пунктах, где нет 8-летних или средних школ. Радиус обслуживаемого H. ш. района не превышает 3 км. В 1-й класс принимаются дети, к-рым к началу уч. года исполнилось 7 лет. Проводится эксперимент по организации обучения с б-летнего возраста. В ряде союзных и автономных республик создаются приготовит, классы для детей 6 лет (особенно не владеющих рус. речью), чтобы подготовить их к обучению в H. ш. с параллельным изучением родного и рус. языков. В H. ш. и нач. классах 8-летних и средних школ преподавание всех предметов ведёт один учитель. Обязательные занятия в неделю - 24 уч. часа, в нац. школах (с обучением на родном языке и добровольным изучением рус. или др. нац. языка) допускается увеличение уч. нагрузки на 2-3 часа. Домашние задания рассчитаны на выполнение их в пределах: в 1-м классе - до 1 часа, во 2-м - до 1, 5 часа, в 3-м - до 2 часов. Уч. планом предусмотрены изучение русского (родного - в нац. школах) языка, математики, природоведения, занятия по труду, изобразительному иск-ву, музыке, физич. культуре. Программа по русскому (родному) языку включает первоначальные сведения по грамматике и правописанию, формирование связной устной и письменной речи, навыков сознательного, выразительного чтения с постепенным увеличением беглости его (до 80-90 слов в минуту к концу 3-го года обучения). Классное чтение дополняется внеклассным (проводятся спец. уроки). На уроках чтения, грамматики большое внимание уделяется логич. упражнениям, развитию самостоят, суждений у учащегося. Программа по математике включает нумерацию и арифметич. действия с первого десятка до многозначных чисел в пределах класса миллионов, понятие о дроби, мет-рич. систему мер длины и веса, время и его измерение. Геометрич. материал (геометрич. фигуры на плоскости) изучается в тесной связи с арифметич. действиями. Особое внимание уделяется развитию матем. мышления. Программа по природоведению предусматривает знакомство с явлениями природы, с.-х. трудом, элементарные сведения по анатомии и физиологии человека, охране его здоровья, по охране природы. Изучение теоре-тич. материала сочетается с опытами, практнч. работами, экскурсиями. На уроках труда проводится работа с разными материалами, изготовляются предметы быта, игрушки и др., постепенно усложняются задания по технич. моделированию. Занятия изобразительным иск-вом включают рисование с натуры, по представлению, на заданные темы, декоративное рисование, ознакомление с отд. произведениями изобразит, иск-ва и др. Уроки пения и слушания музыки (с использованием звукозаписи) способствуют формированию у детей вокально-хоровых навыков, художеств, вкуса, развитию муз. способностей. Занятия физич. культурой (гимнастич. упражнения, игры, лыжная подготовка и др.) являются важным средством укрепления здоровья детей. Обучение и воспитание в H. ш. организуются с учётом психич. особенностей детей, их интересов и запросов.

Лит.: Константинов H. А., Струминский В. Я., Очерки по истории начального образования в России, 2 изд., M., 1953; Проблемы обучения и воспитания в начальной школе. Под ред. Б. Г. Ананьева и А. И. Сорокиной, M., 1960; Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, M., 1962; 3 а нк о в Л. В., О начальном обучении, M., 1963; Основные вопросы начального обучения. Сб. Под ред. А. С. Пчелко, M., 1963; Программы восьмилетней школы. Начальные классы (I-III), M., 1972; Очерки истории школы и педагогической мысли народов СССР. XVIII в.- пер. пол. XIX в., M., 1973.

П. В. Зимин.

" НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА", ежемесячный журнал, орган Мин-ва просвещения РСФСР. Издаётся в Москве с 1933. Рассчитан на учителей 1-3-х классов общеобразоват. школы. В журнале публикуются материалы о постановке преподавания в нач. классах и воспитательной работе с детьми (в т. ч. в малокомплектных нач. школах), об использовании в уч. процессе наглядных пособий и технич. средств обучения, пропагандируется передовой пед. опыт. " Н. ш." печатает материалы в помощь самообразованию учителей, проводит дискуссии по актуальным пед. проблемам, освещает опыт работы нач. школы за рубежом; имеется раздел " Критика и библиография". В журнале выступают известные учёные, методисты, учителя, руководители школ, работники нар. образования. Тираж (1974) св. 600 тыс. экз.

НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ при математическом анализе процесса, состояние этого процесса в к.-л. момент времени, принятый за начальный. Если процесс описывается дифференциальным уравнением, то задача об отыскании решений по H. у. наз. Коши задачей. Для уравнения
[ris]

H. у. состоит в задании
[ris]

при значении t = t₀. Если n = 2 и y = y(t) - закон движения материальной точки, то в H. у. задаётся положение точки и её скорость в момент t = t₀. H. у. для дифференциального уравнения с частными производными ставится аналогично. Так, для уравнения свободных колебаний струны
[ris]

где и(t, х)- отклонение точки x сфуны в момент t от её положения покоя на оси Ox, H. у. состоит в задании начальной формы струны u|_{t = t0} = f(x) и начальных скоростей точек струны
[ris]

Роль времени может играть к.-л. другой аргумент; тогда H. у. задаётся при нек-ром значении этого аргумента.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в к-ром пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

Потребность в изображениях пространств, предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических вопросов (напр., строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие живописи и архитектуры, техники и т. п.). Особенно большое значение имеют чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость (проекционные чертеж и). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований; важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать пространств, представление изображаемой фигуры; 2) " обратимость" чертежа, т. е. возможность точного определения изображённой фигуры по чертежу; 3) простота выполнения требуемых построений; 4) точность графич. решений. В способах построения изображений применяются центральное и параллельное проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций (см. Проекция). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные способом центрального проектирования, к-рый соответствует геометрич. схеме возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее употребительными в H. г. являются параллельные проекции, к-рые более просты в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространённым является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный черте ж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂ в пространстве. Плоскость П₁ располагают горизонтально; её называют горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость П₂ - фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку А пространства проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1); получают горизонтальную проекцию A₁ (AA₁ перпенд. плоскости П₁) и фронтальную проекцию A₂ (АА₂ перпенд. плоскости П ₂). Три точки A, A₁ и A₂ лежат в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии р₁₂ пересечения плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию к.-л. фигуры получают, проектируя ортогонально все точки этой фигуры на плоскость П₁, фронтальную проекцию - на плоскость П₂. Часто бывает полезно добавить третью проекцию фигуры - на плоскость П₃, перпендикулярную к плоскостям П₁ и П ₂. Плоскость П₃, а также и проекцию на неё называют профильной. Две проекции точки А (напр., A1 и А2) вполне определяют третью проекцию (A₃).

Чтобы получить чертёж, состоящий из трёх указанных проекций (комплексный чертёж), плоскости П₁ и П ₃ совмещают с плоскостью П₂ (" главной" плоскостью) путём вращения их вокруг линий [ris] ₁₂ и [ris] ₂₃ пересечения этих плоскостей с плоскостью П ₂ (рис. 2). Обычно на практике не указывается положение осей проекций [ris] ₁₂ И [ris] ₁₃, то есть положение плоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

Комплексный чертёж обратим, т. к. по нему можно определить расстояние между любыми двумя точками натуральной фигуры. Действительно, отрезок AB (рис. 3) в натуре является гипотенузой прямоугольного треугольника ABB*, в к-ром AB* = A1B1, а В*В есть разность высот точек В и А, выражаемая на чертеже отрезком В₂*В₂. Отсюда можно получить простое построение натурального отрезка AB = A1 B (pиc. 4); для этого нужно построить B1 B| A1B1 и B1 B = В₂*В₂.

Для увеличения наглядности комплексного чертежа на проекциях фигуры устанавливают " условия видимости": из двух точек А и В, проекции к-рых на к.-л. из плоскостей проекций совпадают, напр. A1 = B1, видимой считается та, к-рая расположена ближе к зрителю; " невидимые" линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример такого изображения пространственной фигуры в трёх проекциях, паз. " вид спереди" (фронтальная проекция), " вид сверху" (горизонтальная проекция) и " вид слева" (профильная проекция), дан на рис. 5. Комплексный чертёж (из двух или трёх ортогональных проекций) является наиболее распространённым видом технич. чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей - их малая наглядность.

Для построения более наглядных обратимых изображений в H. г. применяется другой способ, называемый аксонометрией.

При аксонометрии изображаемую фигуру относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая геометрия). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена координатная ломаная OM_xM₁M для произвольной точки M. Длины координатных отрезков OM_x, M_xM₁, M₁M являются координатами х, у, z точки M. Если спроектировать натуральную систему осей Oxyz на плоскость П ', то получается т. н. аксонометрическая система осей O'x'y'z' (рис. 6). Проекция О'М'_хМ'₁М' координатной ломаной состоит из отрезков О'М'х, M'xM'1, М'1М', длины к-рых х', у', z' в аксонометрич. системе координат наз. аксонометрическими координатами точки M. Отношения
[ris]

выражают величины искажения координатных отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами) искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию наз. и з о м е т р и е и, если хотя бы два из них равны - д и-м е т р и е и, если же все показатели искажения неравны - т р и м е т р и е и.

Чтобы при помощи аксонометрич. способа построить изображение точки M на плоскости Я' в данной параллельной проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки M(x, u, z); 6) аксонометрич. систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций П '; в) показатели искажения и, v, w.

Тогда по формулам (*) находят аксонометрич. координаты точки М'(х', у', z') и строят по ним точку M', являющуюся искомой проекцией точки M. Аксонометрич. изображение пространств, фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрич. чертёж обратим: если на аксонометрич. чертеже дана точка М'(х', у', z'), то можно по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, z точки M.

Если задать произвольную аксонометрич. систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций П ' (не сводящуюся, однако, к одной прямой) и отношение показателей искажения и: [ris]: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме), существует такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости проекций П ' и такое направление проектирования, при к-рых на плоскости П ' реализуются ранее выбранная аксонометрич. система осей и отношений показателей искажения.

Для упрощения аксонометрич. способа построения изображений пользуются " приведённой" аксонометрией, в к-рой аксонометрич. координаты стремятся по возможности заменить натуральными без искажения вида чертежа. Так, напр., на рис. 7 дана ортогональная изометрия объекта, изображённого на комплексном чертеже (рис. 5), с использованием натуральных координат вместо аксонометрических. При этом происходит изменение масштаба аксонометрич. чертежа, но вид его сохраняется, т. е. чертёж изменяется подобно. Аксонометрич. изображения предметов, не имеющих большого протяжения, обладают достаточной наглядностью. Этого нельзя сказать об изображениях крупных объектов, таких, как здания, плотины и др. сооружения. В этих случаях предпочтительнее применять изображения, выполненные в центральной проекции (перспективе).

Чтобы перспективный чертёж был обратимым, на плоскости проекций П ' строят центральную проекцию А' (перспективу) изображаемой точки А и перспективу Ai' ортогональной проекции A1 точки на горизонтальную плоскость Пi, наз. предметной (рис. 8). Плоскость проекций П ' (картинную плоскость) выбирают преим. перпендикулярной к предметной. Точка A1 наз. основанием точки А. В частности, S1 есть основание центра проекций (" глаза") S. Зная положение центра S относительно картинной плоскости П ', можно по данным перспективе А' точки А и перспективе А'1 её основания найти положение натуральной точки А в пространстве. Для этого нужно провести SA1' и найти A1. Затем построить A1A перпенд. плоскости П1 и найти точку А пересечения прямых SA' и A1A. Большое значение при построении перспективных изображений имеют т. н. точки схода, являющиеся перспективными изображениями бесконечно удалённых точек пространства, илиниягоризонта - перспективное изображение бесконечно удалённой прямой предметной плоскости П₁.