Современные квантово-химические представления о валентности 13 страница

С о ч. в рус. пер.: Куба революционная, М., 1962; Слово борцам!, " Иностранная литература", 1968, № 1.

ВАРЕЛА (Varela) Xoce Педро (19. 3. 1848-24. 10. 1879, Монтевидео), уругвайский педагог и деятель нар. образования; в 1875-76 президент республики. Организовал в 1868 " Общество народного образования", при к-ром в 1869 была основана в г. Кардона первая экспериментальная нач. бесплатная школа. В. был инспектором Гл. управления нач. школ (1877-79), организатором учительских съездов, основателем " Педагогической энциклопедии" (1878). Автор закона от 24 авг. 1877 о всеобщем обязат. бесплатном нач. обучении, в основу к-рого легли гл. положения его работы " О школьном законодательстве" (1876). Подобно др. просветителям В. преувеличивал значение просвещения в политич. освобождении народа и социальном преобразовании страны. Пед. взгляды В. изложены в его осн. теоретич. труде " Воспитание народа" (1874).

ВАРЕН (Waren), город в ГДР, в округе Нёйбранденбург, на сев. берегу оз. Мю-риц. Известен с 13 в. 20, 2 тыс. жит. (1967). Рыболовство. Пищ. пром-сть, з-д цветного литья и поковок. Место отдыха и туризма.

ВАРЕНА, город, центр Варенского рна Литов. ССР. Расположен на р. Мяркис (приток Нямунаса). Ж. -д. ст. на линии Вильнюс - Гродно. 4 тыс. жит. (1969). Деревообработка, консервный з-д (выпускает овощные и грибные консервы), з-д железобетонных конструкций. Строится (1971) комбикормовый з-д. В. возникла в 17 в.

ВАРЕНИУС (Varenius) Бернхардус [наст. фам. и имя-В арен (Varen) Берн-хард] (1622, Ганновер, -1650 или 1651, Лейден), нидерландский географ. Автор " Всеобщей географии", в к-рой из системы знаний о Земле впервые выделил географию общую и частную (региональную). Первое изд. книги В. вышло в Амстердаме в 1650, второе и третье - в 1672 и 1681 в Кембридже под ред. И. Ньютона. При Петре I книга была переведена на рус. яз. и издана под заглавием " География генеральная, небесный и земноводный круги купно с их свойствы и действы в трёх книгах описующая" (1718).

ВАРЕНЦОВ Михаил Иванович [р. 7(20). 1. 1902, дер. Поповская, ныне Р1вановской обл. ], советский геолог, чл. -корр. АН СССР (1953). Чл. КПСС с 1925. В 1929 окончил Моск. горную академию. Ученик И. М. Губкина. В 1949-55 директор Ин-та геол. наук АН СССР, с 1956 зав. лабораторией в Ин-те геологии и разработки горючих ископаемых АН СССР. Осн. труды по тектонике, стратиграфии, геол. истории, условиям образования и закономерностям размещения нефтяных и газовых месторождений. В. дал сравнит, характеристику и оценку перспектив важнейших нефтегазоносных областей и провинций СССР (" Второго Баку", Сибири, Сев. Кавказа, Закавказья, Ср. Азии и Казахстана), а также Юго-Вост. Европы, Африки, Китая и др. Награждён 2 орденами.

ВАРЕНЦОВА Ольга Афанасьевна [26. 6 (8. 7). 1862, Иваново - Вознесенск, - 22. 3. 1950, Москва], сов. парт, и гос. деятель, историк. Чл. Коммунистич. партии с 1893.

Род. в семье быв. крепостного крестьянина, имевшего небольшую текст, ф-ку. Училась на Высших жен. курсах Герье (Москва). В 80-х гг. 19 в. участвовала в гимназич. кароднич. кружках. С 1900 активная сторонница " Искры*. В 1901 участвовала в организации " Северного рабочего союза", чл. его ЦК и ответств. секретарь. В то же время чл. Ярославского к-та РСДРП. В 1903-05 вела парт, работу в Астрахани, Вологде, Егорьевске, Ярославле. В 1906-07 чл. Иваново-Вознесенского гор. к-та РСДРП, а с нояб. 1906 также чл. Исполнит, бюро Союзного совета, объединявшего все с. -д. орг-ции Иваново-Вознесенского пром. района. В 1912-13 входила в " инициативную группу" по воссозданию Моск. к-та РСДРП. Подвергалась репрессиям. С марта 1917 секретарь Воен. бюро при МК РСДРП(б). В октябрьские дни 1917 чл. тройки Гор. рна Москвы, руководившей борьбой с юнкерами. В 1919-21 секретарь Иваново-Вознесенского губкома РКП(б). В 1921-28 чл. Совета Истпарта при ЦК ВКП(б), затем работала в Ин-те Маркса - Энгельса - Ленина. На 11-м съезде партии была избрана чл. ЦКК РКП(б). Автор работ по истории революц. движения в России. Награждена орденом Ленина.

Лит.: Багаев М., О. А. Баренцева, в кн.: Славные большевички, М., 1958; Большевиков П., Горбунов Г. И., О. А. Варенцова, М., 1964.

ВАРЕНЬЕ, плоды или ягоды, консервированные варкой в сах. сиропе. В отличие от повидла, джема и желе, плоды и ягоды в В. сохраняют свою первоначальную форму, а сироп - вязкий, не желирующий. Варка В. - старый рус. промысел. В. и теперь изготовляется преим. в СССР; за границей почти не вырабатывается.

Существующие разнообразные способы варки В. могут быть разделены на 2 группы: многократная варка, когда уварива-ние плодов чередуется с их естеств. или искусств. охлаждением; однократная варка, когда уваривание плодов производится непрерывно, без их охлаждения. На консервных з-дах применяется преим. многократная варка, обеспечивающая получение В. лучшего качества. Весь процесс произ-ва В. занимает 1-5 дней. Варочные установки обеспечивают непрерывность процесса варки и сокращение продолжительности его до нескольких часов.

Лит.: Товароведение продовольственных товаров, 2 изд., М., 1967.

ВАРЕС Йоханнес (псевд. - Барбарус) (12. 1. 1890, вол. Хеймтали Виль-яндиского у., -29. 11. 1946, Таллин), эстонский советский поэт и гос. деятель, засл. писатель Эст. ССР (1945). Чл. КПСС с 1940. Род. в крест, семье. Учился на мед. ф-те Киевского ун-та (1910- 1914). В 1920-39 работал врачом в Пяр-ну. Печататься начал в 1910. В 1918 вышел сб. стихов " Фата-Моргана". В ранних произв. В. сказалось влияние символизма. В кн. " Отношения" (1922) заметно приближение к действительности, появляется мысль о враждебности бурж. мира трудящимся, к-рая становится ведущей в сбках " Геометрический человек" (1924) и " Мультиплицированный человек" (1927). В 30-е гг. поэзия В. всё больше проникается антибурж. настроениями. Сб-ки " Мир открыт" (1930), " Эстонская республика" (1932), " Кульминация" (1932-34), " Рыбы на суше" (1937), " Через порог" (1939) проникнуты ненавистью к фашизму и милитаризму; стих В. приближается к классич. ясности. Источником поэтич. вдохновения для В. становятся успехи социализма в СССР и ан-тифаш. борьба масс. В 1933 он обратился к эст. народу с призывом выступить против угрозы фашизма, позднее организовал помощь респ. Испании. Убеждённый демократ и гуманист, В. не поддался давлению бурж. национализма. После падения бурж. режима в Эстонии В. стал в июне 1940 премьер-министром нар. пр-ва, а затем в июле 1940 - пред. Президиума Верх. Совета Эст. ССР (1940- 1946).

В годы Отечеств, войны В. создал яркие патриотич. стихи (сб. " Вооружённые стихи", 1943, " На фронтовых дорогах", 1944). В 1946 опубл. лучшие стихи бурж. периода в сб. " Против течения". Стихи советских лет вошли в сб. " Шаг за шагом к победе" (1946). Кн. " Возрождение Советской Эстонии" (1945) содержит публицистич. статьи и выступления В. Награждён орденом Ленина.

Соч.: Kogutudteosed, t. 1 - 3, Tallinn, 1948 - 50; Luuletusi, Tallinn, 1965; в рус. пер. - Стихотворения, М., 1940; Стихотворения, 1941 - 43, М.. 1943; Избранное, Тал.. 1948; [Стихотворения], в кн.: Антология эстонской поэзии, т. 2, М. - Л., 1959, с. 103 - 117. Э. Сыгель.

ВАРЕСЕ (Varese), Варезе, город в Сев. Италии, в области Ломбардия, у юж. окраины Альп, близ оз. Варесе. Адм. ц. провинции Варесе. 80, 3 тыс. жит. (1969). Трансп. узел. Крупный авиац. з-д; текст., трикот., кож., пищ. пром-сть; электротехнич. предприятия, произ-во мотоциклов и велосипедов. Известен как центр произ-ва обуви. В древности-рим. колония.

ВАРЕШ (Vares), город в Югославии, в Боснии. 8 тыс. жит. (1967). Крупнейший в стране центр добычи жел. руды (ок. 1, 6 млн. т в 1967), направляемой гл. обр. в Зеницу, с к-рой В. соединён ж. -д. веткой. Металлургич. з-д.

ВАРЗАР (Варзер) Василий Егорович (1851-29. 9. 1940), советский статистик и экономист, основоположник промышленной статистики в России. Окончил Пе-терб. технологич. ин-т (1875). В студенч. годы был связан с революц. народниками. Автор широко известной брошюры " Хитрая механика" (1874) об антинар. сущности налоговой политики царского правительства. В 1876 вместе с А. А. Русовым и П. П. Червинским организовал статис-тич. отделение Черниговской земской управы (позднее был её председателем) и разработал т. н. черниговский тип земской статистики. По инициативе и под рук. В. были произведены два первых в России статистич. обследования (фактически - переписи) рус. пром-сти в 1900 и 1908 (" Варзаровские переписи"), материалы к-рых В. И. Ленин использовал в опубликованной в " Правде" (21 авг. 1912) статье " Заработки. рабочих и прибыль капиталистов в России" (см. Поли, собр. соч., 5 изд., т. 22, с. 24-25). В. известен также тремя статистич. работами о стачках пром. рабочих (за 1895- 1904, 1905 и 1906-08).

После Октябрьской революции работал в ВСНХ и ЦСУ, преподавал в вузах. В 1925-27 вышло в свет крупное теоре-тич. исследование В. " Очерки основ промышленной статистики" (2 тт.), где были рассмотрены две фундаментальные проблемы сов. и зарубежной статистики: пром. заведение как единица наблюдений (т. 1) и классификация пром. произ-в (т. 2).

Соч.: Статистические сведения о фабриках н заводах по производствам, не обложенным акцизом, за 1900г., СПБ, 1903; Статистические сведения по обрабатывающей фабричнозаводской промышленности Российской империи за 1908 г.. СПБ, 1912; Статистические сведения о стачках рабочих на фабриках н заводах за десятилетие 1895 - 1904 гг., СПБ, 1905; Статистика стачек рабочих на фабриках н заводах за 1905 г., СПБ, 1908; то же... за трёхлетие 1906 - 1908 гг., СПБ, 1910; Новый способ построения показательных диаграмм, 2 доп. изд., М.. 1926.

Ф. Д. Лившиц.

ВАРЗИ-ЯТЧИ, бальнеологический и грязевой курорт в У дм. АССР, в 90 км от Ижевска и в 55 км от ст. Агрыз. Климат умеренно континентальный: лето тёплое (ср. темп-pa июля 18⁰С), зима умеренно холодная (ср. темп-pa янв. -15⁰С); осадков ок. 500 мм в год. Леч. средства: минерализованная торфяная грязь, минеральная вода с хим. составом:, используется для питья; [ris] для ванн применяется слабосероводородная вода. Лечение больных с заболеваниями опорно-двигат. аппарата, гинекологич., болезнями периферич. нервной системы. Санаторий, водогрязе-лечебница.

ВАРЗОБ, Душанбедарья, Душанбинка, река на 3. Тадж. ССР, прав, приток р. Кафирниган. Образуется слиянием pp. Зидды и Майхура, стекающих с юж. склона Гиссарского хр. Дл. 71 км, пл. басе. 1740 км². Питание ледниковое и снеговое. Ср. годовой расход воды 53, 5 м³/сек (г. Душанбе). В ниж. течении (Гиссарская долина) В. широко используется для орошения. На реке - г. Душанбе; каскад ГЭС.

ВАРЗУГА, река в юж. части Кольского п-ова (Мурманская обл. РСФСР), впадает в Белое м. Дл. 254 км, пл. басе. 9840 км². В ср. и ниж. течении изобилует порогами, наиболее крупный из них - Падун (е тремя водопадами). Преобладает снеговое питание. Весной уровень воды поднимается на 2-2, 5 м. Ср. годовой расход воды 77 м³/сек, в мае - июне - до 300 м^3/сек. Замерзает в октябре, вскрывается в мае. Сплавная.

ВАРИ, лемур вари (Lemur va-riegatus), млекопитающее сем. лемуров отр. приматов. Дл. тела до 60 см, хвоста до 60 см. Густой мех покрыт крупными чёрными и белыми (или красноватыми) пятнами различной формы; хвост чёрный, пушистый; вокруг шеи и ушей - пышное обрамление из белых волос. Окраска очень изменчива. Распространён на сев. -вост. побережье Мадагас-. кара. В. живёт стадами из 10-15 особей на кронах деревьев в тропич. лесах; питается б. ч. растениями. Ведёт ночной образ жизни. Самка рождает 2-3 детёнышей. Почти истреблён.

ВАРИАНТ (франц. variante, от лат. varians, род. падеж variantis - меняющий, изменяющийся), 1) видоизменение, разновидность ч. -л. 2) Одна из неск. редакций к. -л. произведения (лит., муз. и т. п.) или официального документа; видоизменение к. -л. части произведения (документа). 3) В шахматной или шашечной игре - одна из возможных при данном положении комбинаций ходов.

ВАРИАНТНОСТЬ, число степеней свободы термодинамической системы, число физ. переменных, к-рые можно изменять (варьировать) в определ. пределах, не изменяя числа фаз в системе. В. определяется числом независимых переменных (давление, темп-pa, концентрации веществ), к-рые нужно задать, чтобы состояние системы было полностью определено. Подробнее см. Фаз правило. Диаграмма химическая.

ВАРИАТОР, отдельный агрегат или встроенный в машину узел для плавного изменения передаточного числа. В. состоит из одной или неск. бесступенчатых передач и устройств, обеспечивающих их функционирование. Осн. характеристика В. - диапазон регулирования, т. е. отношение наибольшего передаточного числа к наименьшему (обычно 3-6, реже 10-12).

В. обеспечивает оптимальный скоростной режим машины при различных условиях её работы. Напр., на станке можно поддерживать наивыгоднейшую скорость резания на различных участках заготовки при обработке поверхностей вращения переменного радиуса. На эскалаторах метрополитена В. служат для точной подгонки скоростей движения поручней и лестницы. В. применяют в станках, машинах и механизмах текст., бум., хим. пром-сти, на транспорте. Распространённая конструкция - клиноремённый В. со встроенным электродвигателем. Применение В. как бесступенчатых регуляторов скорости (при необходимости - с программным управлением) значительно возрастает в связи с возможностью использования их для автоматизации управления производств, процессами.

Н. Я. Ниберг, А. А. Пархоменко.

ВАРИАЦИИ (от лат. variatio - изменение), муз. форма, осн. на видоизменениях темы, сочинённой композитором или заимствованной им (изредка - двух и даже трёх тем). Отсюда назв. " Тема с В. ", к-рое часто даётся произведениям в этой форме. Истоки В. - в нар. творчестве, в изменениях, к-рым подвергается песенная форма при куплетных повторениях. Тема В. обычно проста по фактуре, исполняется в умеренном темпе, что позволяет провести в В. последовательные фактурные, темповые, жанровые изменения. Различают В., сохраняющие структуру темы (В. на бассо остинато, на выдержанную мелодию и строгие В.) и меняющие её (свободные В.). В первом случае варьирование касается всех или нек-рых элементов темы - мелодии, фактуры, полифонич. ткани, в отд. В. - лада, темпа и тактового размера (Пассакалия до минор И. С. Баха, 32 В. Бетховена для фп., Персидский хор из оперы " Руслан и Людмила" Глинки). Во втором случае В. связаны с темой через общие мелодич. обороты, но меняют жанр, размер, темп, структуру и в результате образуется сюитообразная форма (Симфонич. этюды Шумана для фп., 2-я часть трио " Памяти великого художника" Чайковского, 2-я часть концерта Прокофьева для фп.). Возможно объединение обеих форм варьирования (финал сонаты №2 Шостаковича для фп.). Иногда, как видно из примеров, В. входят составной частью в сонатносимфонич. цикл или др. муз. форму.

Лит.: Протопопов Вл., Вариационные процессы в музыкальной форме, М., 1967; Ад иге залова Л., Вариационный принцип развития песенных тем в русской советской симфонической музыке, в сб.: Вопросы современной музыки. Л., 1SH53; FisсhеrК., Zur Theorie der Variation im 18. und beginnenden 19. Jahrhundert, вкн.: Festschrift J. Schmidt-Gorg..., Bonn. 1957.

Вл. В. Протопопов.

ВАРИАЦИИ МАГНИТНЫЕ, непрерывные изменения магнитного поля Земли во времени. В. м. характеризуются отклонением составляющих геомагнитного поля (горизонтальной Н, вертикальной Z и склонения магнитного D) от ср. значения в месте наблюдений. В при-экваториальных областях ср. значение полной напряжённости земного магнитного поля составляет 0, 42 э, к полюсам оно увеличивается и достигает 0, 70 э (см. Земной магнетизм). Приборы, измеряющие вариации Н, Z и D, наз. вариометрами магнитными. Величина и форма В. м. зависит от широты места наблюдений, времени года и солнечной активности. Обработка результатов измерений позволяет выделить как перио-дич., так и непериодич. изменения геомагнитного поля, имеющие космич., магнитосферно-ионосферное и внутриземное происхождение.

Осн. космич. источником возмущений геомагнитного поля является Солнце. Выявлены 11-летние В. м., связанные с циклич. изменением солнечной активности и составляющие для полной напряжённости геомагнитного поля 1•10^-5 -2*10^-4 э. Существуют периодич. годовые (5*10^-5 -3*10^-4 э) и солнечносу-точные (до 7*10^-4 э) В. м., обусловленные изменением условий освещённости Земли при её орбитальном движении и вращением Земли вокруг оси. Наиболее сильные В. м. возникают под влиянием солнечного ветра - идущего от Солнца потока заряженных частиц. Эти частицы, создавая системы электрич. токов на границе магнитосферы Земли, в её внешнем радиационном поясе и ионосфере, вызывают магнитные бури (с амплитудами до 5•10^-2 э), во время к-рых наблюдаются иррегулярные (1•10^-5-4•10^-2 э), возмущённые солнечносуточные (1•10^-4- 4•10^-3э), апериодич. (1•10^-4-2•10^-3 э) и бухтообразные (3•10^-4-4•10^-3 э) В. м. Резонансные колебания магнитосферы под действием солнечного ветра проявляются в виде устойчивых короткоперио-дич. В. м. (1•10^-7-3•10^-4 э). Коротко-периодич. иррегулярные В. м. возникают в результате вторжения заряженных частиц в ионосферу. Ещё одним примером В. м. космич. происхождения могут служить периодич. лунносуточные вариации ~ (1-5)•10^-5 э. Наиболее медленные, длительностью в сотни лет и более, В. м. вековые (10^-4-10^-3э) вызываются, по-видимому, медленными движениями вещества глубинных слоев Земли (см. Земной магнетизм). Изучение В. м. способствует раскрытию природы земного магнетизма и физич. связей Земли и Солнца. А.Д.Шевнин.

Фотографическая запись составляющих магнитного поля Земли (обсерватория

Воейково, февраль 1969); солнечносуточ-ная, короткопериоди-ческие иррегулярные и бухтообразная (17 - 18 час) магнитные

вариации наложены на суточный ход составляющих H, D и Z. Стрелки указывают масштаб и направление отсчёта Н, D и Z.
[ris]

ВАРИАЦИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ, изменение величины силы тяжести в данной точке Земли с течением времени. Различают периодич. и вековые В. с. т. П е-риодические В. с. т. вызываются в основном тяготением Луны и Солнца, к-рое изменяет силу тяжести на Земле. В. с. т. возникают при этом вследствие вращения Земли, в результате к-рого изменяется взаимное расположение точки наблюдения и небесного тела. Приливные деформации Земли (см. Приливы и отливы) приводят к перераспределению её масс и изменению расстояния точки наблюдения от центра Земли, что дополнительно увеличивает амплитуду периодич. В. с. т. примерно в 1, 2 раза. В итоге амплитуда лунных В. с. т. достигает 0, 2 мгал, а солнечных - 0, 1 мгал; 1 гал = 1 см/сек². Осн. периоды В. с. т.- полусуточный и суточный. Вследствие движения небесных тел, полюсов Земли, долгопериодич. изменений угловой скорости суточного вращения Земли и др. возникают долгопериодич. В. с. т. небольшой амплитуды. Вековые В. с. т. вызываются геофизич. процессами внутри Земли (изменения плотности пород и перемещения масс в недрах Земли), замедлением её вращения и пр. Непосредственно вековые В. с. т. измерить пока не удалось. Сделаны лишь теоретич. оценки, к-рые показывают, что их величина находится на грани точности измерений. Лунно-солнечные В. с. т. учитываются при полевых гравиметрич. определениях, для чего составлены таблицы и номограммы. Непрерывные многомесячные наблюдения периодич. В. с. т. используются для изучения внутр. строения Земли и её упругих свойств. В. с. т. измеряются с помощью высокоточных стационарных гравиметров.

Лит. см. при ст. Гравиметрия.

М. У. Сагитов.

ВАРИАЦИОННАЯ КРИВАЯ, устаревшее назв. графика функции эмпирич. распределения. См. Вариационная статистика.

ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА, исчисление числовых и функциональных характеристик эмпирич. распределений. Если в к.-л. группе объектов показатель изучаемого признака изменяется (варьирует) от объекта к объекту, то каждому значению такого показателя x₁,..., х_n (п - общее количество объектов) ставят в соответствие одну и ту же вероятность, равную 1/n. Такое формально введённое " распределение вероятностей", называемое эмпирическим, можно истолковать как распределение вероятностей нек-рой искусственно введённой вспомогательной случайной величины, принимающей значение xt с вероятностью [ris]. Это позволяет использовать для целей В. с. все понятия и результаты общей теории дискретных распределений, частным случаем к-рых являются эмпирич. распределения. Напр., используемые в В. с. соотношения между моментами эмпирич. распределения суть частные случаи аналогичных соотношений для моментов случайных величин. Наиболее содержательное и математически строгое истолкование В. с. осуществлено лишь для тех случаев, когда результаты наблюдений x₁,..., x_n представляют собой случайные величины. При достаточно большом количестве наблюдений п эмпирич. распределение, в силу закона больших чисел (см. Больших чисел закон), является хорошей статистич. оценкой для неизвестного теоретич. распределения случайных величин x_i и в этой ситуации B.C. становится полезным вспомогат. аппаратом математической статистики. Попытки обоснования В. с. вне рамок теории вероятностей и матем. статистики не привели к серьёзным теоретич. результатам. Л. Н. Большее.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, математическая дисциплина, посвящённая отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов - переменных величин, зависящих от выбора одной или неск. функций. В. и. является естеств. развитием той главы матем. анализа, к-рая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т. д. Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по к-рой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верх, положения А в ниж. положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у(х), доставляющей минимум функционалу

[ris]

где а и b - абсциссы точек Л -и В.

Другой такой же " исторической" задачей является задача об отыскании пути, вдоль к-рого распространяется свет, идущий от источника света (точка А) к нек-рой точке В, в среде с переменной оптич. плотностью (т. е. в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован т. н. Ферма принцип, согласно к-рому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по к-рой свет приходит из Л в В за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой у(х), доставляющей [ris] минимум функционалу.

Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоят, дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й пол. 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на нек-рые общие вариац. принципы (см. Вариационные принципы механики). Со 2-й пол. 19 в. начинают разрабатываться различные вариац. принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т. д. Возникают вариац. принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой - разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.

Прямые методы. В. и. как самостоят, науч. дисциплина сформировалась в 18 в., гл. обр. благодаря работам Л. Эйлера.

Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу

[ris](1)

где F - непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x(t) должна удовлетворять след, условиям:

а) она должна быть кусочно дифференцируемой,

б) при t = t₀ и t = T она должна принимать значения

[ris](2)

Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.

Первые вариац. задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на к-рый надо было ответить, был вопрос о способе фактич. отыскания функции x(t), реализующей минимум функционала (1).

Эйлер создал численный метод решения задач В. и., к-рый получил назв. Эйлера метода ломаных. Этот метод был первым среди большого класса т. н. прямых методов; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне осн. русла, по к-рому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит, условии

[ris](3)

и будем разыскивать решение задачи в форме

[ris]

где [ris] - нек-рая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J(x) становится функцией коэффициентов at:

[ris]

и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций[ris], решение этой задачи стремится при[ris] к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы).

Другая причина усиления интереса к прямым методам - это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в осн. инструмент решения вариац. задач.

Метод вариаций. Второе направление исследований - это изучение необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция x(t), реализующая экстремум функционала J(x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x(t). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название - В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

Пусть x(t) - функция, удовлетворяющая условию (2), a h(t) - произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h(t₀)=h(T)=0. Тогда величина[ris]

где [ris] - произвольное действит. число будет функцией е. Вариацией [ris] функционала J паз. производную

[ris]

Для простейшей задачи В. и.

[ris]

Разлагая полученное выражение в ряд по степеням е, получим

[ris]

где[ris] - члены более высокого порядка. Так как h(t₀) = h(T)=0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

[ris]

Пусть теперь x(t) реализует экстремум. Тогда функция [ris] имеет экстремум при [ris] Поэтому величина [ris] должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x(t) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла ур-нию

[ris](4)

называемому ур-нием Эйлера.

Это - дифференциальное ур-ние 2-го порядка относительно функции x(t). Необходимое условие [ris]=0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариац. задачи, поскольку функция x(t) необходимо должна быть решением краевой задачи .х(t₀)=х₀, х(Т)=х_T для ур-ния (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариац. задачи. Если краевая задача допускает неск. решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, к-рому отвечает наименьшее значение J(x). Однако указанный путь обладает одним существ, недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных ур-ний.