Современные квантово-химические представления о валентности 14 страница

Уже во 2-й пол. 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего осн. результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида

[ris]

где x(t) - вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.

Условный экстремум. Задача Лагранжа. В кон. 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу J(x) при к.-л. дополнит, условиях, кроме условий на концах интервала (t₀, Т). Простейшей задачей подобного вида является класс т. н. изопериметрических задач. Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, к-рая ограничивает максим, площадь.

Значительно более сложной задачей является та, в к-рой ограничения носят характер дифференциальных ур-ний. Эту задачу наз. задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в сер. 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.

Пусть x(t) и u(t) - вектор-функции размерностей я и то соответственно, причём функция x(t), к-рую наз. фазовым вектором, при t = t₀ и t = T удовлетворяет граничным условиям:

[ris](5)

где [ris] и [ris]- нек-рые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x(t) и функция u(t), к-рую наз. управлением, связаны условием

[ris](6)

где f - дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x(t) и u(t), доставляющие экстремум функционалу

[ris](7)

Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрич. задача являются частным случаем задачи Лагранжа.

Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, напр., ур-ние (6) описывает движение к.-л. динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление и - это вектор тяги его двигателя. Множества [ris] и [ris] - это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение манёвра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать след, образом: определить закон изменения тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с орбиты [ris] на орбиту [ris] за заданное время так, чтобы расход топлива на этот манёвр был минимальным.

Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона

[ris]

Здесь[ris]- вектор, наз. множителем Лагранжа (или импульсом), [ris] означает скалярное произведение векторов[ris] Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется след, образом: для того чтобы функции[ris]и[ris]были решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы [ris] была стационарной точкой функции Гамильтона [ris] т. е. чтобы при [ris] было [ris] где [ris]- не равное тождественно нулю решение ур-ния

[ris](8)

Эта теорема имеет важное прикладное значение, т. к. она открывает известные возможности для фактич. нахождения векторов x(t) и u(t).

Развитие В. и. в 19 в. Осн. усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x(t) реализовала экстремум функционала J(x). Ур-ние Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию, к-рое устанавливается в теории [ris] функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и др. условия. Напр., для того, чтобы функция f(x) имела в точке

[ris]минимум, необходимо, чтобы в этой

точке было каков бы ни

был произвольный [ris] вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность, к-рая здесь возникает, заметим, что функция [ris] может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум среди функций другого класса и т. д. Подобные вопросы послужили источником разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра, К. Якоби, М. В. Остроградского, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса и мн. др. Эти исследования не только обогатили матем. анализ, но и сыграли большую роль в формировании идей аналитич. механики и ока-

зали серьёзное влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.

Развитие В. и. в 20 в. В 20 в. возник целый ряд новых направлений В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислит, техники. Одно из осн. направлений развития В. и. в 20 в.- рассмотрение неклассич. задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала

[ris](9)

при условии [ris] фазовый вектор x(t) должен удовлетворять ещё нек-рым граничным условиям.

В своей классич. постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u(t). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u(t) - тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить нек-рой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента uⁱ (i=1, 2, 3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям

[ris] (10)

где[ris] - нек-рые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

Т. о., в технике появилось много задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнит, ограничениях типа (10), записываемых в форме [ris] где G_u - нек-рое множество, к-рое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили назв. задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u(t) при помощи ур-ния (8) и получить систему ур-ний, к-рая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа[ris] Для теории оптимального управления должен был быть разработан спец. аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме след, теоремы: для того чтобы функции[ris]были решением задачи оптимального управления [чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u(t) доставляла максимум функции Гамильтона

[ris]

где [ris] - множитель Лагранжа (импульс), к-рый является ненулевым решением векторного уравнения

[ris]

Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных ур-ний порядка 2л (п - размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы [ris] было не стационарным значением

функции Гамильтона Н, а. доставляло максимум Н.

Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (x, t) - значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция и (t) была оптимальным управлением, необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы функция s (x, t) удовлетворяла следующему дифференциальному ур-нию с частными производными:

[ris]

называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование).

Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J(x) весьма общего вида, задаваемых на множествах G_х элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т. д.

Уже в 19 в. была обнаружена глубокая связь между нек-рыми проблемами теории ур-ний с частными производными и вариац. задачами. П. Дирихле показал, что решение краевых задач для ур-ния Лапласа эквивалентно решению нек-рой вариац. задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания. Рассмотрим один пример.

Предположим, что имеется нек-рое линейное операторное ур-ние

[ris](И)

где [ris] - нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. При предположениях, естественных для нек-рого класса задач физики, задача отыскания решения ур-ния (11) эквивалентна отысканию минимума функционала

[ris](12)

где Q- область, ограниченная кривой Г.

Ур-ние (11) в этом случае является ур-нием Эйлера для функционала (12).

Редукция задачи (11) к (12) возможна, напр., если А - самосопряжённый и положительно определённый оператор. Оператор Лапласа

[ris]

удовлетворяет этим требованиям. Связь между проблемами для ур-ний с частными производными и вариац. задачами имеет большое практич. значение. Она позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности и сыграла важную роль в кристаллизации понятия об обобщённом решении. Эта редукция очень важна также и для вычислит, математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы вариац. исчисления.

В перечислении осн. разделов совр. В. и. нельзя не указать на глобальные задачи В. и., решение к-рых требует качественных методов. Искомое решение вариац. задачи удовлетворяет нек-рому сложному нелинейному ур-нию и краевым условиям. Естественно поставить вопрос о том, сколько решений допускает

эта задача. Примером такой задачи является вопрос о количестве геодезических, к-рые можно провести между двумя точками на заданной поверхности. Проблема подобного рода относится уже к компетенции качественной теории дифференциальных ур-ний и топологии. Последнее обстоятельство очень характерно. Методы, специфические для смежных дисциплин, топологии, функционального анализа и т. д., всё шире начинают применяться в В. и. В свою очередь, идеи В. и. проникают во всё новые области математики, и грань между В. и. и смежными областями математики теперь провести уже трудно.

Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; Б лисе Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; МихлинС. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961; Математическая теория оптимальных процессов, М.,.1969. Н. Н. Моисеев.

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ. Принципами механики наз. исходные положения, отражающие столь общие закономерности механич. явлений, что из них как следствия можно получить все ур-ния, определяющие движение механич. системы (или условия её равновесия). В ходе развития механики был установлен ряд таких принципов, каждый из к-рых может быть положен в основу механики, что объясняется многообразием свойств и закономерностей механических явлений. Эти принципы подразделяют на невариационные и вариационные.

Невариац. принципы механики непосредственно устанавливают закономерности движения, совершаемого системой под действием приложенных к ней сил. К этим принципам относятся, напр., 2-й закон Ньютона, согласно к-рому при движении любой точки системы произведение её массы на ускорение равно сумме всех приложенных к точке сил, а также Д'Аламбера принцип. Невариац. принципы справедливы для любой механич. системы и имеют сравнительно простое матем. выражение. Однако их применение ограничено только рамками механики, поскольку в выражения принципов непосредственно входит такое чисто механич. понятие, как сила. Существенно также следующее. В большинстве задач механики рассматривается движение несвободных систем, т. е. систем, перемещения к-рых ограничены связями (см. Связи механические). Примерами таких систем являются всевозможные машины и механизмы, а также наземный транспорт и др., где связями являются подшипники, шарниры, тросы и т. п., а для наземного транспорта - ещё и полотно дороги или рельсы. Чтобы изучить движение несвободной системы, исходя из не-вариац. принципов, надо и эффект действия связей заменить нек-рыми силами, наз. реакциями связей. Но величины этих реакций заранее неизвестны, поскольку они зависят от того, чему равны и где приложены действующие на систему заданные (активные) силы, такие, напр., как силы тяжести, упругости пружин, тяги и др., а также от того, как при этом движется сама система. Поэтому в составленные ур-ния движения войдут дополнит, неизвестные величины в виде

реакций связей, что обычно существенно усложняет весь процесс решения.

Преимущество В. п. м. состоит в том, что из них сразу получаются ур-ния движения соответствующей механич. системы, не содержащие неизвестных реакций связей. Достигается это тем, что эффект действия связей учитывается не заменой их неизвестными силами (реакциями), а рассмотрением тех перемещений или движений (или же приращений скоростей и ускорений), к-рые точки этой системы могут иметь при наличии данных связей. Напр., если точка М движется по данной гладкой (идеальной) поверхности, являющейся для неё связью (рис. 1), то действие этой связи можно учесть, заменив связь заранее неизвестной по величине реакцией N, направленной в любой момент времени по нормали Мп к поверхности (поскольку по этому направлению связь не даёт перемещаться точке). Но эффект этой же связи можно учесть, установив, что для точки в данном случае при любом её положении возможны лишь такие элементарные перемещения, которые перпендикулярны к нормали Мп (рис. 2); такие перемещения наз. возможными перемещениями. Наконец, эффект той же связи может быть
охарактеризован и тем, что пр-и этом движение точки из некоторого положения А в положение
[ris]

В возможно только по любой кривой АВ, лежащей на поверхности, к-рая является связью (рис. 3); такие движения наз. кинематически возможными.

Содержание В. п. м. состоит в том, что они устанавливают свойства (признаки), позволяющие отличить истинное, т. е. фактически происходящее под действием заданных сил движение механич. системы, от тех или иных кинематически возможных её движений (или же состояние равновесия системы от других возможных ее состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят в том, что для истинного движения нек-рая физ. величина, зависящая от характеристик системы, имеет наименьшее значение по сравнению с её значениями во всех рассматриваемых кинематически возможных движениях. При этом В. п. м. могут отличаться друг от друга видом указанной физ. величины и особенностями рассматриваемых кинематически возможных движений, а также особенностями самих механич. систем, для к-рых эти В. п. м. справедливы. Использование В. п. м. требует применения методов вариационного исчисления.

По форме В. п. м. разделяют на т. н. дифференциальные, в к-рых устанавливается, чем истинное движение системы отличается от движений кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, в к-рых это различие устанавливаетсядля перемещений, совершаемых системой за к.-н. конечный промежуток времени.

Дифференциальные В. п. м. в рамках механики являются более общими и практически справедливы для любых механич. систем. Интегральные В. п. м. в их наиболее употребит, виде справедливы только для т. н. консервативных систем, т. е. систем, в к-рых имеет место закон сохранения механич. энергии. Однако в них, в отличие от дифференциальных В. п. м. и невариац. принципов, вместо сил входит такая физ. величина, как энергия, что позволяет распространить эти В. п. м. на немеханич. явления, делая их важными для всей теоретич. физики.

К осн. дифференциальным В. п. м. относятся: 1) возможных перемещений принцип, устанавливающий условие равновесия механич. системы с идеальными связями; согласно этому принципу, положения равновесия механич. системы отличаются от всех других возможных для неё положений тем, что только для положений равновесия сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю. 2) Д'Аламбера - Лагранжа принцип, согласно к-рому истинное движение механич. системы с идеальными связями отличается от всех кинематически возможных движений тем, что только для истинного движения в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. В этих В. п. м. рассматриваемой физ. величиной является работа сил.

К дифференциальным В. п. м. относится также Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения), в к-ром рассматриваемой физ. величиной является т. н. " принуждение" выражаемое через заданные силы и ускорения точек системы, а также тесно к нему примыкающий Герца принцип (принцип наименьшей кривизны).

К интегральным В. п. м. относятся т. н. принципы наименьшего (стационарного) действия, согласно к-рым истинным среди рассматриваемых кинематически возможных движений системы между двумя её положениями является то, для к-рого физ. величина, наз. действием, имеет миним. значение. Разные формы этих В. п. м. отличаются друг от друга выбором величины действия и особенностями сравниваемых между собой кинематически возможных движений системы (см. Наименьшего действия принцип).

Как невариационные, так и В. п. м. были установлены в процессе изучения свойств механич. систем и закономерностей их движения. Поскольку механические, как и др. физ. явления, подчинены многим закономерностям, то для соответствующих механич. систем оказался справедливым целый ряд принципов, в т. ч. и В. п. м., и если любой из них принять за исходный, то из него как следствия получаются не только ур-ния движения данной системы, но и все другие, справедливые для этой системы, принципы.

Применяются В. п. м. как для составления в наиболее простой форме ур-ний движения механич. систем, так и для изучения общих свойств этих движений. При соответств. обобщении понятий они используются также в механике сплошных сред, термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.

Лит.: Вариационные принципы механики. [Сб. ст.], под ред. Л. П. Полака, М., 1959; Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, 5 изд., ч. 2, М., 1969; Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., М., 1957. С. М. Таре.

ВАРИАЦИОННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ, отношение квадратичного отклонения к среднему значению. В вариационной статистике отличие к.-л. положит, чисел [ris] от их арифметического среднего[ris] принято характеризовать средним квадратичным отклонением

[ris]

Относит, характеристикой такого чраз-броса" служит В. к. [ris] В теории вероятностей и матем. статистике В. к. положит, случайной величины X определяется как отношение [ris] где [ris] - математическое ожидание, [ris] -дисперсия. Если X - результат измерения нек-рой неизвестной положит, постоянной [ris], то В. к. представляет собой естеств. характеристику относит, ошибки измерения.

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД, последовательность к.-л. чисел, расположенная в порядке возрастания их величин. Напр., В. р. чисел 1, -3, 8, 2 имеет вид -3, 1, 2, 8. Промежуток между крайними членами В. р. наз. интерва лом варьирования, а длину этого интервала - размахом. В математической статистике понятие В. р. составляет основу теории решения т. н. непара-метрич. задач.

ВАРИАЦИЯ (от лат. variatio - изменение), 1) то же, что вариант (в 1-м значении). 2) Видоизменение муз. темы, мелодии или её сопровождения (см. Вариации). 3) В балете небольшой сольный классический танец, обычно технически сложный. Исполняется в живом быстром темпе (см. Па, Па-де-дё, Па д'аксьон). 4) (Биол.) таксономич. категория; то же, что вариетет. 5) (Матем.) осн. понятие вариационного исчисления.

ВАРИАЦИЯ в астрономии, одна из основных неправильностей (" неравенств") в изменении небесной долготы Луны, характеризующих отклонение фактич. движения Луны от невозмущённого движения по эллиптич. орбите (см. Возмущения небесных тел). Существование В. было обнаружено в 10 в. араб, астрономом Абуль-Вефой и окончательно установлено в 16 в. дат. астрономом Тихо Браге. Теоретич. выражение для В. имеет вид [ris], где D - разность средних долгот Луны и Солнца, а коэфф. А, т. е. амплитуда В., составляет по совр. теориям движения Луны 39'29, 9". Период В. равен половине си-нодич. месяца, т. е. ок. [ris]суток.

ВАРИАЦИЯ показаний измерительного прибора, наибольшее экспериментально найденное расхождение между показаниями прибора, полученными при повторных измерениях одной и той же величины. В. показаний вызывается такими причинами, как трение в опорах подвижной части измерит, прибора, явлениями гистерезисного характера (см. Гистерезис) и т. п. Она служит источником одной из составляющих погрешностей измерительного прибора.

ВАРИЕТЕТ (нем. Varietat, от лат. va-rietas - разнообразие, переменчивость), в зоол. систематике совокупность особен одного вида, отличающихся одним или неск. признаками (обычно морфологич.) от др. особей того же вида. Ранее термин " В. " применялся к любым подразделениям внутри вида, связанным с изменчивостью, начиная от мутаций и возрастных изменений окраски и кончая география, изменчивостью. Такая неопределённость понятия делает нежелательным использование термина " В. ". В соответствии с Ме-ждунар. кодексом зоол. номенклатуры В., описанные в 1961 и позднее, рассматриваются только как инфраподви-довые категории. В., описанные до 1961, рассматриваются по кодексу либо как подвиды, либо как инфраподвидовые категории. И. М. Кержнер.

ВАРИКАП [англ. varicap, от vari(ab-1е) - переменный и cap(acity) - ёмкость], конденсатор в виде полипроводникового диода, ёмкость к-рого нелинейно зависит от приложенного к нему электрич. напряжения. Эта ёмкость представляет собой барьерную ёмкость электронно-дырочного перехода и изменяется от единиц до сотен пф (у отд. В. практически в 3-4 раза) при изменении обратного (отрицат. знака) напряжения на неск. десятков вольт. В. обладает высокой добротностью (малыми потерями электрич. энергии), малым температурным коэфф. ёмкости, независимостью от частоты практически во всём диапазоне радиочастот, стабильностью параметров во времени. В. изготавливают на базе кремния, германия, арсенида галлия (см. Полупроводниковые материалы). В радиоэлектронных устройствах свойство нелинейности изменения ёмкости В. применяют для получения параметрич. усиления, умножения частоты и др., а возможность электрич. управления значением ёмкости - для дистанционной и безынерционной перестройки резонансной частоты колебательного контура и др. Лит.: Берман Л. С., Нелинейная полупроводниковая ёмкость, М., 1963; его же, Введение в физику варикапов, Л., 1968 (бнбл. с. 174 - 78); ЛабутинВ. К., Частотноизбирательные цепи с электронной настройкой, М. - Л., 1966.

ВАРИКОЗНАЯ ЯЗВА (от лат. varico-sus - страдающий расширением вен), трофическая язва, кожная язва, образующаяся, как правило, на голени при прогрессирующем варикозном расширении вен ниж. конечностей. В. я. образуется вследствие отёка, вызванного застоем крови, и дальнейших дегенеративных и деструктивных изменений тканей. Лечение - устранение осн. причины, вызвавшей В. я.

ВАРИКОЗНОЕ РАСШИРЕНИЕ ВЕН, изменение вен, выражающееся в их меш-ковидном расширении, увеличении длины, образовании извилин и узлообразных клубков. Заболевание чаще всего поражает вены ниж. конечностей, прямой кишки (см. Геморрой), реже - вены семенного канатика (см. Варикоцеле), пищевода. Женщины болеют в 3 раза чаще мужчин. Ведущее значение в возникновении В. р. в. имеют врождённая слабость венозной стенки, аномалии сосудов, изменение эластичности мышечного слоя, недостаточность клапанов. Скорость кро-ветока в расширенных венах замедляется, что нередко приводит к образованию в них тромбов (см. Тромбофлебит). Развитию В. р. в. способствуют затруднение оттока крови вследствие тромбоза вен, запоров, сдавление вен малого таза опухолью или у женщин беременной маткой. В. р. в. часто возникает при плоскостопии. Иногда В. р. в. развивается у людей, занимающихся тяжёлым физ. трудом (кузнецы, грузчики), или у лиц, проф. деятельность к-рых связана с длит, пребыванием на ногах (повара, парикмахеры, официантки и т. д.). При В. р. в. на ниж. конечностях поражаются преим. поверхностные, подкожные вены. Заболевание развивается постепенно. Больные жалуются на чувство тяжести в поражённой ноге, быструю утомляемость, отёчность - вначале преходящую, а в более поздних стадиях заболевания постоянную. Иногда на поражённой ноге развивается варикозная язва. Расширенные вены обычно хорошо видны через кожу. Лечение зависит от степени выраженности и распространённости патологич. процесса. В начальных стадиях и при нерезко выраженном В. р. в. - бинтование ног элас-тич. бинтом или ношение резиновых чулок. При резко выраженном В. р. в. - хирургич. лечение. Профилакти-к а: при наследственном предрасположении к В. р. в. - общеукрепляющие мероприятия (леч. физкультура, витаминотерапия, воздушные и морские ванны и пр.). Женщинам во время беременности, начиная со 2-3-го месяца, при первых признаках В. р. в. конечностей следует проводить эластич. бинтование, к-рое необходимо продолжать и в первые месяцы после родов.

Лит.: Тальман И. М., Варикозное расширение вен нижних конечностей, Л., 1961; Мамамтавришвили Д. Г., Болезни вен, М., 1964. Р. С. Колесникова.

ВАРИКОНД [англ, varicond, от vari-(able) - переменный и cond(enser) - конденсатор], сегнетокерамич. конденсатор с резко выраженной нелинейной зависимостью ёмкости от приложенного к его обкладкам электрич. напряжения. С увеличением напряжения диэлектрическая проницаемость, а следовательно, и электрич. ёмкость возрастают, достигают максимума (при напряжённости электрич. поля внутри В. 50-250 в/мм) и затем снижаются (см. Сегнетоэлектрики). Степень нелинейности и ёмкость В. сильно зависят от темп-ры. С повышением темп-ры до Кюри точки (для применяемых сегнетоэлектриков 25-200°С) они возрастают, достигая своего макс, значения; при дальнейшем повышении темп-ры ёмкость резко снижается, а нелинейность исчезает. В. имеют номинальные значения ёмкостей от 10 пф до 1 мкф и отношение макс, ёмкости к начальной от 2 до 20 при изменении напряжения на десятки вольт. В. характеризуются высокой механич. прочностью, устойчивостью к вибрациям, тряске, влаге; срок службы их практически неограничен. Особенности В. - временная и температурная нестабильность ёмкости, ограниченный диапазон рабочих частот и темп-р, высокие значения диэлектрических потерь. В. применяют в автоматике и радиоэлектронике - для автоматич. бесконтактного дистанц. управления, усиления электрич. мощности (диэлектрический усилитель), параметрич. стабилизации тока и напряжения, умножения, деления, модуляции частоты и др.

Лит.: Вербицкая Т. Н., Варикон-ды, М. - Л., 1958.

ВАРИКОЦЕЛЕ (от лат. varix - расширение вены и греч. kele - опухоль, вздутие), узловатое расширение и удлинение вен семенного канатика. Встречается преим. в возрасте 17-30 лет. Причина развития В.: усиление притока крови к половым органам и затруднение её оттока, напр, при сдавлении вен семенного канатика в паховом кольце, наступающее при физ. перенапряжении, длит, пребывание на ногах (напр., у парикмахеров, полотёров, официантов и т. п.). Предрасполагают к развитию В. общее ослабление организма, слабость венозных стенок, заболевания сосудистой системы и др. болезни. Проявляется тупыми тянущими болями и чувством тяжести в мошонке. Лечение: устранение причин, вызвавших В., ношение суспензория, иногда - хирургич. операция.

Лит.: Гребенщиков Г. С., Расширение вен семенного канатика. Семенная киста, в кн.: Многотомное руководство по хирургии, под ред. Б. В. Петровского, т. 9, М., 1959.

ВАРИНГ, Уэринг (Waring) Эдуард (1734, Олд-Хит, близ Шрусбери, - 15. 8. 1798, Плили в Понтсбери), английский математик. Проф. Кембриджского ун-та (с 1760), чл. Лондонского королевского об-ва (1763). Осн. труды - по алгебре (симметрич. функции, теория резольвент и др.), теории алгебр, кривых и теории чисел. Для теории чисел особенно важна постановка (1770) т. н. Варинга проблемы. Лит.: Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.

ВАРИНГА ПРОБЛЕМА, проблема теории чисел, сформулированная (без доказательства) англ, математиком Э. Ва-рингом в 1770; любое целое число N3=1 может быть представлено в виде суммы: ЛГ = Й1" +... + а^п* нек-рого числа k слагаемых, каждое из к-рых есть п-я степень целого положит, числа, причём число слагаемых k зависит только от п. Частным случаем В. п. является теорема Лагранжа о том, что каждое N есть сумма четырёх квадратов. Первое общее (для любого п) решение В. п. дано Д. Гильбертом (1909) с очень грубой оценкой количества слагаемых k в зависимости от п. Более точные оценки k получены в 20-х гг. 20 в. Г. Харди и Дж. Литлвудом, а в 1934 И. М. Виноградовым с помощью созданного им метода тригонометрич. сумм были получены результаты, близкие к окончательным. Элементарное решение В. п. дано в 1942 Ю. В. Линником. Особое значение В. п. состоит в том, что при её исследовании были созданы мощные методы аналитич. теории чисел.