XVI. Кино 10 страница. ВЕРНЫЙ, до 1921 назв. г. Алма-Аты, столицы Казах

ВЕРНЫЙ, до 1921 назв. г. Алма-Аты, столицы Казах. ССР.

ВЕРНЬЕР, 1) в приборостроении - приспособление для точного отсчёта длин или углов по делениям шкалы. Действие В. основано на способности глаза уверенно устанавливать совпадение 2 штрихов, когда один из них является продолжением другого и концы их совпадают. В. представляет собой подвижную шкалу, к-рая может скользить вдоль основной; деления на подвижной шкале несколько более мелкие, чем на основной. Если интервал между делениями основной шкалы а, а интервал между делениями на В. (а- а1п), то В. позволяет отсчитать основную шкалу с точностью, равной 11п её деления. Деления В. оцифро-ваны в соответствующих долях деления основной шкалы. Если нулевой штрих В. (индекс) находится между двумя штрихами " с" и °С + 1" основной шкалы, то отсчёт равен " с" плюс то показание В., к-рое находится против штриха, наилучшим образом совпадающего с нек-рым штрихом основной шкалы. На рис. цена деления осн. круга 30', цена деления В. соответствует 1'; отсчёт-5°10'. В. был изобретён в 1631 директором Монетного двора во Франш-Конте (Франция) П. Вернье (Р. Vernier, 1580-1637) и назван в его честь. 2) В радиотехнике - приспособление для точной настройки радиоприёмников и др. радиоаппаратуры. Е. А. Юров.

ВЕРНЬО (Vergniaud) Пьер Виктюрньен {31. 5. 1753, Лимож, -31. 10. 1793, Париж), деятель Великой франц. революции. Адвокат. В 1791 избран депутатом Законодат. собрания; был его пред, во время восстания 10 авг. 1792, свергнувшего монархию. Один из лидеров жирондистов, В. был избран депутатом Конвента, где выступал решительным противником монтаньяров. После победы нар. восстания 31 мая - 2 июня 1793 был арестован и по приговору Революц. трибунала казнён.

ВЕРОНА (Verona), город на С. -В. Италии, в обл. Венеция, у подножия Альп, по обоим берегам р. Адидже. Адм. ц. провинции Верона. 254, 9 тыс. жит. {1969). Важный трансп. узел на путях из Венеции в Милан и из Паданской равнины в Австрию (через перевал Бреннер). Машиностроит., химич., полиграфич., текст., деревообр., бум., пищ. пром-сть. Периодич. междунар. с. -х. ярмарки. Индустриальный ин-т.

В. - древнее поселение, с 89 до н. э. - РИМ. колония. Близ В. в 489 король остготов Теодорих одержал победу над Одоакром и сделал её одной из своих резиденций. При лангобардах (568-774) В. - центр одного из дукатов (герцогств). С нач. 12 в. - гор. коммуна. В 12 в. В. входила в Ломбардскую лигу. В В. раньше, чем в большинстве городов Италии, сложилась тирания. В 1387 В. была присоединена к Милану, в 1405- к Венеции, вместе с к-рой по Кампоформийскому миру 1797 отошла к Австрии. В 1866 вошла в состав Итал. королевства.

Сохранились римские арена, театр, остатки укреплений (Порта деи Борсари, Порта деи Леони), восходящий к античности мост Понте Пьетра. Облик старой части В. с её узкими прямыми улицами определяют многочисл. ср. -век. постройки. В центре В. - 2 площади: Пьяцца делле Эрбе (быв. антич. форум) с готич. домами Каса деи Мерканти (1301) и Торре дель Гарделло (1370) и барочным Палаццо Маффеи (1668); Пьяцца деи Синьори с романским Палаццо дель Комуне (начато в 1193), дворцом Скалиге-ров (Палаццо дель Говерно; кон. 13 в.) и ренессансной Лоджией дель Консильо (1475-92, арх. Фра Джоконде). Романские церковь Сан-Дзено Маджоре (5 в., перестроена в 9 в. и 1120-38; бронз, двери портала - 11-12 вв.) и собор (1139-87; кампанила - 16 в., арх. М. Санмикели); готич. церковь Сант-Анастазия (1291-1323 и 1422-81, в интерьере - фрески Пизанелло). Готич. замок Кастельвеккьо (1354-75) с мостом Скалигеров и предмостными башнями. Ренессансные дворцы (Помпеи, 1530; Каносса, ок. 1530; Бевилаква, 1532) и ворота гор. укреплений (Порта Нуова, 1533-40; Порта Палио, 1557; и др.) - все арх. М. Санмикели. Музеи: Архео-логич. музей, Музей Кастельвеккьо, Галерея совр. иск-ва.

Лит.: Simeoni L., Verona, Roma, 1929; S с h m i d E., Verona. Brescia, Frauenfeld, 1961.

ВЕРОНАЛ, лекарственный препарат, то же, что барбитал. См. Снотворные средства.

ВЕРОНЕЗЕ (Veronese; собств. Кальяри, Caliari) Паоло (1528, Верона, - 19. 4. 1588, Венеция), венецианский живописец Позднего Возрождения. Учился у веронского худ. А. Бадиле. Работал гл. обр. в Венеции (с 1553), а также в Вероне, Мантуе, Виченце и Падуе. В 1560, возможно, посетил Рим. Произв. В. кон. 1540 - нач. 1550-х гг. говорят об изучении им рисунка Микеланджело, композиц. построений Рафаэля и Корреджо, колористич. открытий Тициана. К сер. 1550-х гг. складывается самостоят, стиль В., сочетающий лёгкий, артистически-изощрённый рисунок и пластику форм с изысканной колористич. гаммой, основанной на сложных созвучиях чистых цветов, объединённых светоносным серебристым тоном. Гл. сфера деятельности В. - монументальнодекоративная живопись. Его исполненные маслом на холсте крупные многофигурные композиции, украшающие стены и плафоны светских и культовых зданий Венеции, часто служат прославлению величия и воен. триумфов Венецианской республики. Им присущи героич. приподнятость образов, энергичная светотеневая лепка, выразительность ракурсов и движений, праздничное, ликующее великолепие цвета (" Старость и Юность", 1553, " Диалектика", 1575-77, " Триумф Венеции", 1578- 1585, - все во Дворце дожей, Венеция; " Триумф Мардохея" и др., 1556, церковь Сан-Себастьяно, Венеция). Выполненные В. фрески в загородных венецианских виллах (вилле Соранцо, 1551, фрагменты фресок ныне в соборе в Кастель-франко; вилле Барбаро-Вольпи в Мазере близ Тревизо, ок. 1561), с их холодной воздушной цветовой гаммой, отличаются большей интимностью образов; наряду с мифологич. композициями и аллегорич. фигурами в них встречаются пейзажи и жанровые сцены с шутливыми иллюзионистическими эффектами. Воплощая гуманистическое идейнообразное содержание в целостных, законченных монументальнодекоративных формах, органически связывая живопись с архитектурой, В. развивает на новом этапе лучшие достижения иск-ва эпохи Возрождения. Излюбленный вид станковой картины В. - торжественные многофигурные композиции с изображением праздничных пиршеств, шествий и аудиенций, в к-рых человек выступает во взаимосвязи с окружающей его обществ, средой (" Брак в Кане", 1563, Лувр, Париж; " Семья Да-рия у ног Александра", после 1565, Нац. галерея, Лондон; цикл картин для семьи Куччина, в т. ч. " Брак в Кане" и " Поклонение волхвов", ок. 1571, - обе в Карт, гал., Дрезден; " Пир в доме Левия", 1573, Галерея Академии, Венеция). Смелое введение конкретных жизненных наблюдений, жанровых мотивов, портретов современников стало причиной обвинения В. инквизицией в 1573 в излишне светской трактовке религ. тем. В. создал большое число алтарных образов, разнообразных по замыслу и композиц. решениям (" Мадонна с младенцем и святыми", ок. 1562, " Обручение св. Екатерины", ок. 1575, - оба в Галерее Академии, Венеция). Немногочисл. портретам В. свойственны мягкая лиричность, иногда оттенок жанровости (" Белла Нани", 1550-е гг., Лувр, Париж; " Граф да Порто с сыном Адриано", ок. 1556, собрание Контини-Бонакосси, Флоренция). Последние годы творчества В. отмечены признаками кризиса ренессансного мировоззрения. В работах В. 1580-х гг. появляются холодная парадность и внешняя патетика; в них проскальзывают вместе с тем настроения смутной тревоги, скорби и меланхолии (" Похищение Европы", 1580, Дворец дожей, Венеция; " Агарь и Исмаил в пустыне", 1580-е гг., Художеств. -ист. музей, Вена; " Оплакивание Христа", нач. 1580-х гг., Эрмитаж, Ленинград). Рафинированный, богатый тончайшими переливами красок колорит становится менее звучным. Среди учеников В. - его брат Бенедетто, сыновья Карло и Габриеле.

Илл. см. на вклейке к стр. 513.

Лит.: Антонова И. А., Веронезе, М., 1957; Fiocco G., Paolo Veronese. Bologna,, 1928; P a 1-lucchini R., Ca-talogo del la mostra di Paolo Veronese, Venezia, 1939; егоже, Veronese, 3 ed., Bergamo, 1953. И. А. Антонова.

ВЕРОНИКА (Veronica), род растений сем. норичниковых. Одно, дву- или многолетние травы, иногда полукустарнички. Венчик голубой, синий, белый или иной окраски, обычно 4-лопастный, часто колосовидный; тычинок - 2; плод - двух-гнёздная коробочка. Ок. 300 видов, обитающих гл. обр. в умеренных и холодных областях Сев. полушария, часто на высокогорьях. В СССР св. 140 видов, встречающихся повсеместно. Нек-рые В. разводят как декоративные. К роду В. часто присоединяют виды рода геба (Hebe) - более 100 видов кустарников и невысоких деревьев, растущих гл. обр. в Н. Зеландии (ок. 90 эндемичных представителей), а также в Австралии, Тасмании, Н. Гвинее и умеренных обл. Юж. Америки. Вечнозелёные красиво цветущие виды геба часто культивируют; в СССР - на Кавказе и в Крыму.

М. Э. Кирпичников.

ВЕРОНСКИЙ КОНГРЕСС 1822, см. в ст. Священный союз.

ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, одна из мер рассеяния случайных величин. Если а есть математич. ожидание случайной величины X и распределение вероятностей этой величины непрерывно, то В. о. Ех определяется требованием, чтобы вероятность отклонений X от a, больших по абсолютной величине, чем Ех, равнялась вероятности отклонений меньших по абсолютной величине, чем Ех. Если величина X имеет нормальное распределение с дисперсией[ris], то[ris]или, округляя этот результат, величина срединного (вероятного) отклонения (ошибки) равна ²/з величины среднего квадратичного отклонения (ошибки).

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ, математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к.-л. образом с первыми.Утверждение о том, что к.-л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, ещё не представляет само по себе окончат, ценности, т. к. мы стремимся к достоверному знанию. Окончат. познават. ценность имеют те результаты В. т., к-рые позволяют утверждать, что вероятность наступления к.-л. события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность ненаступления события А весьма мала. В соответствии с принципом " пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие науч. и практич. интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или ненаступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов (см. по этому поводу Больших чисел закон). Поэтому можно также сказать, что В. т. есть математич. наука, выясняющая закономерности, к-рые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Предмет теории вероятностей. Для описания закономерной связи между нек-ры-ми условиями S и событием А, наступление или ненаступление к-рого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, напр., имеют все законы классич. механики, к-рые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

6) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P(A/S), равную р. Так, напр., законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся к.-л. число N атомов.

Назовём частотой события А в данной серии из п испытаний (т. е. из п повторных осуществлений условий S) отношение h=m/n числа т тех испытаний, в к-рых А наступило, к общему их числу п. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

Статистич. закономерности, т. е. закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистич. закономерности рождения, смерти (напр., вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0, 515). Кон. 19 в. и 1-я пол. 20 в. отмечены открытием большого числа статистич. закономерностей в физике, химии, биологии и т. п.

Возможность применения методов В. т. к изучению статистич. закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют нек-рым простым соотношениям, о к-рых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет В. т.

Основные понятия теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия В. т. как математич. дисциплины в рамках т. н. элементарной В. т. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной В. т., таково, что оно заканчивается одним и только одним из событий[ris]

[ris](тем или иным, в зависимости от случая). Эти события наз. исходами испытания. С каждым исходом Е_k связывается положит, число p _k - вероятность этого исхода. Числа p_k должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А, заключающиеся в том, что " наступает или [ris]или [ris] или[ris] Исходы [ris] наз. благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность Р(А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих [ris] ему исходов:

Частный случай[ris] приводит к формуле

[ris](2)

Формула (2) выражает т. н. классическое определение вероятности, в соответствии с k-рым вероятность к.-л. события А равна отношению числа г исходов, благоприятствующих А, к числу s всех " равновозможных" исходов. Классич. определение вероятности лишь сводит понятие " вероятности" к понятию " равновозможности", к-рое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i, j), где г - число очков, выпадающее на первой кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию А - " сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода (1; 3), (2: 2), (3; 1). Следовательно, [ris]

Исходя из к.-л. данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В наз. объединением событий[ris] если оно имеет вид: " наступает или [ris]

Событие С наз. совмещением событий A₁, A₂,..., A _г, если оно имеет вид:

" наступает и А₁, и A₂,..., и A_r".

Объединение событий обозначают знаком [ris], а совмещение - знаком [ris]. Т. о., пишут:

[ris]

События А и В наз. несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, т. е. если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две осн. теоремы В. т.- теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события A₁, A ₂,..., А_гтаковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В - " сумма очков не превосходит 4", есть объединение трёх несовместных событий A₂, A₃, A₄, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятность Р(В) равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Условную вероятность события В при условии Л определяют формулой[ris]

что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A₁, А₂,..., А_rназ. независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его " безусловной" вероятности (см. также Независимость в теории вероятностей). Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A₁, А₂,..., А_rравна вероятности события A₁, умноженной на вероятность события A₂, взятую при условии, что A₁наступило,..., умноженной на вероятность события A_rпри условии, что A₁, А₂,..., А_r-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит [ris] к формуле:

т. е. вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях нек-рые из событий заменить на противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0, 2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

Каждый Исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2*2*2*2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н, н, н) следует положить равной 0, 2-0, 8-0, 8-0, 8 = 0, 1024; здесь 0, 8 = = 1-0, 2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию " в цель попадают три раза" благоприятствуют исходы (У, У У, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у), (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:

[ris]

следовательно, искомая вероятность равна

4*0, 0064 = 0, 0256.

Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из осн. формул В. т.: если события A₁, А₂,..., А_nнезависимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно т из них равна

[ris]

здесь[ris] обозначает число сочетаний из

п элементов по т (см. Биномиальное распределение). При больших п вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности

[ris]

Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема)

[ris]

причём ошибка не превосходит 0, 0009. Найденный результат показывает, что событие [ris] практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем В. т.

К числу основных формул элементарной В. т. относится также т. н. формула полной вероятности: если события A₁, А₂,..., А_rпопарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме

[ris]

Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний Т₁, Т₂,..., T_n-1, Тnесли каждый исход испытания Т есть совмещение нек-рых исходов[ris] Y_i соответствующих испытаний T₁, T₂, [ris] Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

[ris]

По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р(Е)для всех исходов E составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практич. точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания независимы, т. е. вероятности (5) равны безусловным вероятностям Р(A_i), P(B_j),..., P(Y_l); б) на вероятности исходов к.-л. испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, т. е. вероятности (5) равны соответственно: [ris]

В этом случае говорят оО испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями P(Ai) и переходными вероятностями [ris] (см. также Марковский процесс).

Случайные величины. Если каждому исходу E_rиспытания Т поставлено в соответствие число X_r, то говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x₁, x₂,......, х_s могут быть и равные; совокупность различных значений х_rпри r = 1, 2,..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей наз. распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения). Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j)связывается случайная величина X = i + j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4,..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36,..., 2/36, 1/36.

При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, к-рое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий

[ris](6)

где x_k - какое-либо из возможных значений величины X_kСлучайные величины называются независимыми, если при любом выборе x_kсобытия (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, напр. события[ris]

[ris]

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия.

В число осн. характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математич. ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значит, степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).

Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении к.-л. величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (напр., запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т. п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения, Плотность вероятности).

Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, к-рое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о к рых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из к-рых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

Наиболее распространённая в наст, время логич. схема построения основ В. т. разработана в 1933 сов. математиком А. Н. Колмогоровым. Осн. черты этой схемы следующие. При изучении к.-л. реальной задачи - методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов и, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как нек-рое множество элементарных событий. С нек-рыми из событий А связываются определённые числа Р(А), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям:

[ris]

Для создания полноценной математич. теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть осн. свойства меры множества. В. т. может, т. о., с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математич. ожидания - в абстрактные интегралы Лебега и т. п.-Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математич. ожидания и т. п.

Предельные теоремы. При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки

над её элементарными разделами, в к-рых все задачи имеют конечный, чисто ариф-метич. характер. Однако познават. ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях частота появления к.-л. события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математич. ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей). Пусть

[ris](7)

- независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с[ris]

и Yn - среднее арифметическое первых и величин [ris] из последовательности (7):

В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было [ris] вероятность неравенства [ris] имеет при [ris] пределом 1, и, т. о., Y_nкак правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Y_nот а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией [ris] Т. о., для определения вероятностей тех или иных отклонений Y_n от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин Хn, достаточно знать лишь их дисперсию. В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне ес-теств. образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, напр., если X₁время до первого возвращения нек-рой случайно меняющейся системы в исходное положение, X₂ - время между первым и вторым возвращениями и т. д., то при очень общих условиях распределение суммы [ris] (т. е. времени до n-го возвращения) после умножения на[ris] (а - постоянная, меньшая 1) сходится к нек-рому предельному распределению. Т. о., время до n-го возвращения растёт, грубо говоря, как [ris] т. е. быстрее п (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка п),

Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

Случайные процессы. В ряде физич. и химич. исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы, т. е. процессы, для к-рых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопарамет-рич. семейство случайных величин X(t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, напр., точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция наз. случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для[ris]

для всевозможных моментов времени [ris] при любом [ris] В наст, время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух спец. направлениях. Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс[ris] наз. марковским, если для любых двух моментов времени[ris] условное распределение вероятностей[ris] при условии, что заданы все значения [ris] при [ris] зависит только от[ris] (в силу этого марковские случайные процессы иногда наз. процессами без последействия). Марковские процессы являются естеств. обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классич. физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени[ris]однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени [ris] однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при [ris] причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени [ris] не изменяют это распределение. Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, т. е. неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (напр., возможность т. н. спектральногоразложения где[ris] случайная [ris] функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физ. явления.