Дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.

В тех случаях, когда научную или техническую проблему, связанную с изучением какого-либо процесса, сформулировать на языке математике, то она сведется в итоге к одному или нескольким дифференциальным уравнениям. Это имеет отношение и спорту, когда решаются, например, задачи, связанные с силами и движением.

Пример со вторым законом Ньютона.

Более того, основная задача интегрального исчисления – отыскание первообразной по известной ее производной сводится к простейшему дифференциальному уравнению: дано уравнение , а его решение определяется интегралом .

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее неизвестные функции независимых переменных, а также производные этих функций (или их дифференциалы).

Обыкновенным ДУ будет уравнение, имеющее одну независимую переменную, например x, искомую функцию y=φ (x) и производные последней:

.

Порядок ДУ – это порядок наивысшей производной (или дифференциала), т.е. старшая производная.

Степень ДУ – наивысшая степень старшей производной.

Примеры: - ДУ первого порядка первой степени.

- ДУ второго порядка первой степени.

- ДУ первого порядка третьей степени.

Решение ДУ - это функция y=φ (x)+С, обращающая уравнение в тождество. Например, решением уравнения будет экспоненциальная функция (С – произвольная постоянная величина - константа). Действительно:

.

Решение y=φ (x)+С, содержащее константу, называется общим решением ДУ. Это имеет место всегда, поэтому любое ДУ имеет бесконечное множество решений. Более того, в общее решение может входить несколько констант (это зависит от порядка уравнения).

Т.о. более полно общее решение ДУ определится выражением:

.

Процесс решения ДУ называется его интегрированием.

Частное решение ДУ – решение, получающееся из общего, если константам присваиваются конкретные числовые значения исходя из дополнительных условий.

Например, при решении конкретных задач они выливаются в так называемые начальные условия. С их использованием мы получим конкретные значения констант, что говорит о том, что ДУ, описывающее конкретный процесс в природе, имеет единственное решение, т.е. описывает процесс однозначно.

Линейное ДУ – в которое искомая функция и ее производные входят в первой степени (т.е. линейно), например:

. (1.1)

Здесь функции , обычно заданы, называются коэффициентами линейного уравнения, а функция g(x) – правой частью или свободным членом уравнения.

Однородное линейное ДУ – когда g(x)=0, в противном случае уравнение будет неоднородным.

Физический смысл неоднородных и однородных уравнений.

Линейное ДУ первого порядка - когда неизвестная функция y и ее первая производная входят в первой степени:

(1.2)

Это неоднородное уравнение, называется правой частью уравнения.

Уравнение

(1.3)

является однородным ДУ первого порядка.

Рассмотрим основные типы ДУ.