Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Составляют важнейший класс уравнений, причем решение их относительно несложное, т.к. выражается через элементарные функции.

4.1. Уравнение первого порядка . (4.1)

Решением такого уравнения (см. выше) может быть только функция вида

, (4.2)

где λ – корень характеристического уравнения, получающегося из уравнения (4.1) следующим простым способом:

; : . (4.3)

Из него имеем: , поэтому общее решение ДУ имеет вид:

(4.4)

Пример. . 1. Характеристическое уравнение:

2. Находим корень: .

3. Общее решение по (4.2):

ПРИМЕЧАНИЕ. Ответ можно сразу записать по выражению (4.4).

4.2. Уравнение второго порядка (12)

Характеристическое уравнение получается заменой:

( 18)

Решая его, находим корни λ ₁ и λ ₂. В случае различных корней общее решение ДУ будет иметь вид:

(19)

Корни также могут быть одинаковыми и комплексно-сопряженными. В этих случаях решение будет отличаться от (19).

Пример. .

1. Характеристическое уравнение:

2. Находим его корни: .

3. Общее решение имеет вид в соответствии с (19):

5. Линейное однородное ДУ первого порядка с коэффициентом, являющимся функцией от х