Закон Био-Савара-Лапласа.

ФИЗИКА

Методические указания к контрольной работе №4

для студентов I-II курсов ЗОТФ

НОВОСИБИРСК

Данные методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с рабочей программой по физике, принятой на кафедре Прикладной и теоретической физики НГТУ, и предназначены для студентов I-II курсов заочного общетехнического факультета.

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. А.А. Харьков

канд. техн. наук С.В. Спутай

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. А.В. Погорельский

Работа подготовлена на кафедре Прикладной и теоретической физики НГТУ.

Ó Новосибирский государственный

технический университет, 1999

I. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

Контрольная работа №4 включает 8 задач по разделам “Электродинамика” и “Колебания и волны”. Для самостоятельного изучения этих разделов, кроме данного учебного пособия, рекомендуется использовать один из следующих учебников:

Основная литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1982-1998, т.2.

2. Трофимова Т.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1990-1998.

Дополнительная литература

3. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.- М.: Наука, 1985.

4. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма.- М.: Высшая школа, 1983.

Вопросы выносимые на экзамен

1. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямого и кругового токов. Магнитное поле движущихся зарядов.

2. Сила Лоренца. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

3. Силы действующие на контур с током в магнитном поле. Магнитный момент. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника (контура) с током в магнитном поле.

4. Закон полного тока. Уравнение Максвелла для потока вектора В через замкнутую поверхность.

5. Магнитное поле соленоида и тороида. Индуктивность соленоида.

6. Магнитное поле в веществе. Виды магнетиков. Граничные условия для векторов В и Н на границе раздела двух сред.

7. Ток смещения. Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Н.

8. Явление электромагнитной индукции. ЭДС индукции.

9. Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Е.

10. Явление взаимной индукции и самоиндукции.

11. Энергия магнитного поля. Плотность энергии электромагнитного поля.

12. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Примеры.

13. Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами. Векторные диаграммы.

14. Сложение гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Биения.

15. Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

16. Затухание свободных колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Параметры, определяющие затухание.

17. Вынужденные колебания. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс.

18. Энергия гармонических и затухающих колебаний.

19. Волны. Уравнение плоской бегущей волны.

20. Стоячие волны. Получение стоячих волн.

21. Фазовая и групповая скорость волн.

22. Электромагнитные волны. Уравнение плоской электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн.

23. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга.

Напоминаем основные требования, предъявляемые к оформлению контрольных работ: условия задач следует переписывать полностью без сокращений, затем нужно сделать краткую запись условия, т.е. все исходные величины записать столбиком в системе единиц “СИ”; вначале получить решение в общем виде, проверить размерность результата и только после этого делать вычисления. Если используемые в решении задачи формулы не являются физическими законами, то необходимо их вывести. При расчетах соблюдайте правила приближенных вычислений. В приведенных ниже условиях задач числовые значения заданы с точностью до трех значащих цифр.

В период сессии студенты-заочники также выполняют две лабораторные работы по разделам “Электромагнетизм” и “Колебания и волны”.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

§1. Магнитостатика.

Магнитное поле, также как и электрическое поле, является одним из проявлений общего понятия электромагнитного поля. Язык описания количественных и качественных свойств магнитного поля во многом аналогичен языку описания электрического поля, что позволяет применять при запоминании метод аналогии. Подобно тому, как электрическое поле в данной точке пространства характеризовалось вектором напряженности электрического поля , магнитное поле в данной точке пространства характеризуется вектором магнитной индукции .

В качестве фундаментальных свойств магнитного поля следует упомянуть следующие:

- магнитное поле в заданной системе отсчета порождается электрическими токами, либо зарядами, движущимися относительно данной системы отсчета;

- в системе отсчета, в которой существует магнитное поле, на токи и движущиеся относительно этой системы отсчета заряды действуют силы со стороны магнитного поля;

- если имеется несколько источников магнитного поля, то результирующее магнитное поле в точке наблюдения будет равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых в точке наблюдения каждым из источников в отдельности (принцип суперпозиции магнитных полей).

Установление этих свойств явилось результатом многочисленных наблюдений и экспериментов.

Закон Био-Савара-Лапласа.

В результате обобщения экспериментальных данных был получен закон, определяющий поле точечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью :

, (1.1)

где m₀= 4× p× 10^-7 Гн/м - магнитная постоянная, - радиус-вектор, проведенный от движущегося заряда q к точке наблюдения ( - единичный орт в этом направлении).

Поскольку положение заряда относительно точки наблюдения изменяется во времени, то и величина магнитного поля в точке наблюдения зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени. Следует заметить, что характер убывания величины с расстоянием подчиняется закону обратных квадратов характерному и для напряженности электрического поля точечного заряда.

Стационарные (не изменяющиеся со временем) магнитные поля создаются постоянными токами (элементами проводников с током) и получаются из выражений (1.1) для движущихся зарядов путем использования микроскопических представлений о характере протекающего по проводнику тока и принципа суперпозиции.

Так ток по участку проводника (элемент тока) представляется как упорядоченное движение с одинаковой скоростью большого числа носителей заряда, каждый из носителей создает в точке наблюдения “свое” магнитное поле, эти магнитные поля носителей тока, находящихся в данный момент времени в пределах рассматриваемого элемента тока, векторно складываются и создают результирующее магнитное поле, создаваемое элементом тока:

(1.2)

где I=j× dS - полный ток текущий через поперечное сечение dS проводника, - направленный по току элемент длины проводника с током, - вектор плотности тока в элементе тока, dV=dl× dS- объем элемента тока, - радиус вектор, направленный от элемента тока к точке наблюдения. Записанная формула выражает закон Био-Савара-Лапласа.

Формулу (1.2) можно использовать для расчета магнитного поля создаваемого любой конфигурацией постоянных токов. При этом макроскопический ток разбивается на малые прямолинейные отрезки, магнитные поля которых можно определить используя (1.2) и векторно складывая последние для нахождения результирующего поля В. Поскольку, как правило, элементы тока непрерывно примыкают друг к другу, то суммирование осуществляется интегрированием. Следует заметить, что обычно интегрированием находятся отдельные компоненты вектора магнитной индукции в выбранной системе координат, потом по этим компонентам можно реконструировать и сам вектор .

Пример 1: Магнитное поле участка прямого тока.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа в точке В векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление - от нас. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей dB, причем . Из рисунка видно, что r× da=dl× cosa, r=b/cosa. Поэтому , и проинтегрировав по a от -a₁ до a₂: или, через другие углы (b, см. рисунок)

. (1.3)

В частном случае бесконечно длинного прямого тока

. (1.4)

Таким образом, магнитное поле создаваемое бесконечно длинными прямолинейными проводниками имеет одинаковую величину для всех точек, удаленных на одинаковое расстояние от прямой, вдоль которой расположен проводник с током, а направление поля связано с направлением тока правилом правого винта (буравчика).

Подобным образом может быть рассчитана магнитная индукция в центре отрезка кругового тока, опирающегося на угол j:

, (1.5)

где R- радиус кругового витка.

Расчет магнитной индукции на оси кругового витка с током производится покомпонентно: рассчитывается компонента вектора , направленная вдоль оси симметрии витка (обычно это компонента В_z), и перпендикулярная к оси симметрии компонента В_r. В случае витка с током из соображений симметрии следует, что В_r=0 (в этом можно убедиться и непосредственным расчетом). Следовательно, величина осевой компоненты поля В_z будет равняться величине вектора магнитной индукции для точек, находящихся на оси витка. Эта величина зависит от расстояния h между точкой наблюдения и плоскостью, в которой расположен виток:

. (1.6)