Образцы решения некоторых заданий контрольных работ

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации для студентов

решения задач по математики.

Пермь, 2014г.

Образцы решения некоторых заданий контрольных работ

Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:

Решение.

1. Правило Крамера.

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

Ответ:

2. Метод обратной матрицы.

Введём обозначения: Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: , решение которого находим по формуле

Прежде всего найдём матрицу , обратную матрице Определитель системы Следовательно для матрицы существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Отсюда

Тогда

Итак, Ответ:

Пример2. Даны вершины треугольника АВС: Построить треугольник на координатной плоскости. Найти:

• периметр треугольника;
• уравнения всех сторон треугольника;
• уравнение высоты СН
• уравнение медианы АМ.

Решение.

1. Вычислим длины всех сторон треугольника:

Следовательно, периметр треугольника ABC равен

Ответ:

2. Составим уравнение прямой AB. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

Аналогично находим уравнения сторон BC: AC:

Ответ: AB: BC: AC:

3. Для нахождения уравнения высоты CH воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку: Известно, что условием перпендикулярности двух прямых является следующее условие: Так как прямые AB и CH перпендикулярны, то Используя координаты точки С, получаем уравнение высоты СH:

Ответ: CH:

4. Используя формулы для нахождения координат середины отрезка (полусумма соответствующих координат), найдем координаты точки M: тогда . Используя уравнение прямой, проходящей через две точки A и M, получим уравнение медианы AM:

Ответ: AM:

Пример3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти:

• площадь основания АВС пирамиды;
• объем пирамиды ABCD;
• общее уравнение плоскости АВС;
• уравнение ребра АD.

Решение.

1. Треугольник ABC построен на векторах и (для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала). Для вычисления площади основания ABC, найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения векторов и :

Ответ:

2. Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Тогда

Ответ:

3. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

.

Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: x+2y+2z-18=0.

Ответ: ABC: x+2y+2z-18=0.

4. Для составления уравнения прямой AD нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Тогда уравнение прямой AD имеют вид:

.

Ответ: уравнение прямой AD: .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования дроби, произведения и сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

Пример 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1) , так как функция определена всюду, кроме точки x=1. В своей области определения функция непрерывна, является точкой разрыва графика функции; поведение функции в окрестности этой точки будет рассмотрено ниже.

2) Так как область определения не симметрична относительно точки x=0, то проверка на чётность и нечётность не проводится. График функции симметрией не обладает.

3) Найдём нули функции, т.е. точки пересечения с осями координат.

• При x=0 имеем: т.е. точка (0; 1) – точка пересечения с осью Oy.
• При y=0 имеем x= –1, т.е. точка (-1; 0) – точка пересечения с осью Ox.

4) Найдём асимптоты графика функции.

• Вертикальные асимптоты: так как , то – вертикальная асимптота.
• Горизонтальные асимптоты: так как , то горизонтальных асимптот нет.
• Наклонные асимптоты: так как

то – наклонная асимптота.

5) Найдём первую производную данной функции:

.

Найдём точки, в которых первая производная равна нулю: и не существует: . Для исследования функции на экстремум применяем метод интервалов:

		–1	(–1; 1)		(1; 5)
	+		+	не существует	–		+
		нет экстремума		нет экстремума		точка минимума

Получаем, что при график функции возрастает, при - убывает. Точка - точка минимума,

6) Найдём вторую производную данной функции:

Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю: и не существует: Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, а также точек перегиба воспользуемся методом интервалов:

		–1	(–1; 1)
	–		+	не существует	+
		перегиб		не существует

Получаем, что - промежуток выпуклости, - промежуток вогнутости. Точка - точка перегиба,

Контрольные точки (нули функции, точки экстремума и точки перегиба) наносим на координатную плоскость и на основании проведённого исследования строим график данной функции.

Пример 7. Вычислить интеграл: .

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям , получаем:

Пример 8. Вычислить интеграл: .

Решение. Применяя к данному интегралу метод внесения под знак дифференциала, получаем: . Ответ:

Пример 9. Вычислить интеграл:

Решение.

Ответ:

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Данная криволинейная трапеция получается при пересечении параболы и прямой. Найдем точки пересечения их графиков. Для этого решим совместно два уравнения : , откуда .

Сделаем схематический чертеж:

Тогда искомая площадь будет равна: (ед².).

Ответ: (ед².).

Пример11. Найти экстремум функции: .

Решение. Находим частные производные первого порядка: , . Находим точки возможного экстремума, для этого решаем систему уравнений: , Таким образом, точка - это точка, в которой может быть экстремум функции .

Для проверки того, является полученная точка точкой экстремума или нет, и если является, то какой в этой точке будет экстремум: минимум или максимум, проверяем достаточное условие экстремума. Находим: , и . Составляем определитель , следовательно в точке есть экстремум. Так как при этом , то в точке достигается минимум функции: . Ответ: .

Пример12. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

. Теперь уравнение можно интегрировать: . Находим неопределенные интегралы: , откуда: - это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:

Пример13. Решить уравнение при условии .

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: , где и - неизвестные функции. Получаем: или . Неизвестную функцию найдем из условия : , , откуда . Тогда для нахождения второй неизвестной функции нужно решить уравнение: , откуда: . Тогда и путем интегрирования последнего равенства получаем . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: . Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных и в общее решение, получаем: , откуда . Тогда частное решение данной задачи имеет вид: . Ответ: .

Пример14. Решить уравнение: у ² +2 у^' +5 у = 0.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: . Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: . Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: . Ответ: .

Пример15. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим и . Тогда: , следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.

Пример16. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле: . Имеем: , . Тогда . Итак, радиус сходимости . Тогда интервал сходимости данного ряда: , то есть .

Исследуем ряд на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд . Этот ряд знакочередующийся, для исследования его на сходимость применяем признак Лейбница:

а) члены данного ряда убывают по абсолютной величине: ;

б) . Оба условия признака Лейбница выполняются, значит знакочередующийся числовой ряд сходится, и при исходный степенной ряд сходится.

При получаем числовой ряд . Этот ряд знакоположительный, для исследования его на сходимость применяем интегральный признак Коши: составляем интеграл и исследуем его на сходимость. Имеем: . Несобственный интеграл расходится, следовательно будет расходящимся и числовой ряд . Тогда на правом конце интервала сходимости исходный степенной ряд расходится. Вывод: степенной ряд сходится при .

Ответ: степенной ряд сходится при .

Пример17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:

Р(А) = m/n.

Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.

Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А, найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216.

Ответ: Р (А) = 43/216.

Пример18. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0, 2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.

Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: . По условию задачи , .

а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: .

б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:

В₁: два билета из шести будут выигрышными;

В₂: три билета из шести будут выигрышными;

В₃: четыре билета из шести будут выигрышными.

Тогда В= В₁+В₂+В₃ и Р(В) = Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃).

Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:

,

,

.

Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0, 2458+0, 0492+0, 0061=0, 3011

Ответ: P(B)=0, 3011.

Пример19. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины х_i, а во второй строке – численность каждой группы значений m_i:

Найти объем выборки ; относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение. Найдем объем выборки n по формуле: , где – число столбцов в таблице. Тогда n = 3+11+14+5=33.

Относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины, находим по формулам: . Получаем: , , , .

Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:

х i
	1/11	1/3	14/33	5/33

Находим числовые характеристики выборки:

а) среднее арифметическое находим по формуле:

б) выборочная дисперсия находится по формуле: .

Получаем:

в) среднеквадратическое отклонение: .