Пример № 10. (для задач 91-100).

В результате опыта могут произойти три независимых события А₁, А₂, и А₃ с вероятностями Р(А₁)=0, 9, Р(А₂)=0, 8, Р(А₃)=0, 1. Найти вероятности того, что в результате опыта: 1) произойдут все три события; 2) произойдет хотя бы одно событие; 3) произойдет ровно одно событие; 4) произойдет только первое событие.

Решение. 1) Обозначим событие В =(в результате опыта произойдут все три события). Иначе говоря, в результате опыта произойдет А₁ А_2, А₃. Можно себя контролировать: если произносили союз «и», то речь идет о произведении событий: В=А₁ А₂ А₃. Поскольку события независимые, то по теореме умножения вероятностей

Р(В)=Р(А₁ А₂ А₃)=Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃)=0, 9 0, 8 0, 1=0, 072; Р(В)=0, 072.

2) Обозначим событие С=(в результате опыта произойдет хотя бы одно из событий А₁, А₂, А₃). Другими словами событие С означает, что в результате опыта произойдет или А_1, или А_2, или А₃.Поскольку произносится союз или, то это указывает на то, что события складываются: С=А₁+А₂+А₃. При этом необходимо учитывать, что здесь союз или произносится не совсем в обыденном употреблении, когда иногда применение союза или к А и В предполагает исключение одного из другого. В теории вероятностей сумма двух событий А+В означает: или А, или В, или оба. Поэтому теорема сложения вероятностей имеет вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А В), а для трех событий

Р(А₁+А₂+А₃)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)-Р(А₁ А₂)-Р(А₁ А₃)-Р(А₂ А₃)+Р(А₁ А₂ А₃).

Для нашего примера:

.

Как видим, формула получилась громоздкой. В таких случаях следует всегда иметь в виду нахождение противоположного события и его вероятности. Противоположным событием для С является: = (в результате опыта не произойдет ни одно из событий А₁, А₂, А₃), т.е. = . Поскольку то

и видим, что тот же результат получен несколько проще.

1) Обозначим: Д=(в результате опыта произойдет ровно одно событие), т.е.

Д= А₁ + + . В этой сумме все слагаемые попарно не совместные, за счёт присутствия в каждом слагаемом противоположных событий. Поэтому

2) Обозначим: Е=(в результате опыта произойдет только событие А₁), т.е. Е= А₁ , следовательно, Р(Е)=Р(А₁ ) =0, 9 0, 2 0, 9=0, 162.