![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Пример №3. (для задач 21-30).
Провести полное исследование функции Решение. Исследование предлагается провести в несколько этапов, которые соответствующим образом озаглавим.
В нашем случае для существования значений функции, необходимо чтобы x≠ 0, поэтому областью определения будет Д(y)=(-∞; 0)U(0; ∞).
Проверяем два условия: f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Если выполняется первое условие, то функция четна; если второе – нечетна; если не выполнится ни одно из условий, тогда функция будет особого вида(ни четной, ни нечетной). Исходная функция является нечетной, так как выполняется условие f(-x)= 3. Исследование на непрерывность, построение асимптот. Начинаем с области определения функции: функция определена (следовательно, непрерывна) везде, кроме точки х=0. Исследуем характер разрыва в точке х=0.
Таким образом, в точке х=0 функция терпит разрыв II рода с бесконечным скачком, а прямая х=0 (т.е. ось OY) является вертикальной асимптотой графика функции. Найдем наклонные (в частном случае горизонтальные) асимптоты. Известно, что уравнение наклонных асимптот имеет вид Следовательно, 4. Иссследование с помощью первой производной (возрастание, убывание, экстремум). Находим производную функции по формуле производной дроби: Итак, Итак, получили три критические точки I рода, которыми числовая прямая разбивается на интервалы, в каждом из которых производная имеет определенный знак. Удобно изобразить исследование с помощью первой производной на числовой прямой следующим образом:
Берем в каждом интервале любую точку и выясняем знак производной (ставим соответственно + или -). На интервалах Этот схематический рисунок удобен тем, что стрелки как бы намечают траекторию графика функции (см. график в конце примера). Кроме этого, он наглядно иллюстрирует достаточный признак экстремума функции в точке: если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке экстремум есть, причем, если знак меняется с «+» на «-», то имеется максимум, если с «-» на «+», то минимум. Глядя на рисунок, это легко понять: при х=-1 функция имеет максимум, при х=1 – минимум. Найдем Замечание: Разумеется, точка х=0 никак не может быть точкой экстремума, поскольку в этой точке функция терпит разрыв. Однако, для нахождения интервалов возрастания и убывания она необходима и потому её тоже считаем критической. То же замечание относится и к исследованию с помощью
3. Исследование функции с помощью второй производной (выпуклость, вогнутость, перегиб). Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью второй производной проводится по той же схеме, по которой с помощью первой производной проводится исследование функции на убывание, возрастание и экстремум.
Имеются два источника критических точек II рода, «подозрительных» на перегиб:
На интервале Теперь строим график функции на основании проведенного исследования.
|