Решение. Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы и строим граф цепи (рис

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы и строим граф цепи (рис. 1.23, б). В этом графе ветви 3, 4, 5 выбраны в качестве ветвей дерева, ветви 1, 2, 0 являются ветвями связи, контуры 1-5-3, 2-4-5, 0-3-4 являются главными.

Количество неизвестных токов В = 6, количество узлов У = 4, количество главных (независимых) контуров К = 3.

Система уравнений Кирхгофа для расчёта токов

Узел 1: I ₃ + I ₁ – I ₀ = 0; (1.9)

2: I ₀ – I ₂ – I ₄ = 0; (1.10)

3: I ₂ – I ₅ – I ₁ = 0; (1.11)

Контур I: I ₁× r ₁ – I ₅× r ₅ – I ₃× r ₃ = 0; (1.12)

II: I ₂× r ₂ – I ₄× r ₄ + I ₅× r ₅ = 0; (1.13)

III: I ₀× r ₀ + I ₃× r ₃ + I ₄× r ₄ = E. (1.14)

Для уменьшения количества уравнений в системе воспользуемся способом подстановки: из (1.9), (1.10), (1.11) выразим токи ветвей дерева через токи ветвей связи и подставим в (1.12), (1.13), (1.14). Получим систему из трёх уравнений:

I ₁× (r ₁ + r ₅ + r ₃ ) – I ₂× r ₅ – I ₀× r ₃ = 0,

I ₂× (r ₂ + r ₄ + r ₅ ) – I ₁× r ₅ – I ₀× r ₄ = 0, (1.15)

I ₀× (r + r ₃ + r ₄ ) – I ₁× r ₃ – I ₂× r ₄ = E.

Система с числовыми значениями:

110× I ₁ – 30× I ₂ – 60× I ₀ = 0,

-30× I ₁ + 100× I ₂ – 30× I ₀ = 0,

-60× I ₁ – 30× I ₂ + 100× I ₀ = 400.

По методу Крамера

D = =

= 10³× (11× 10× 10 – 3× 3× 6 – 3× 3× 6 – 6× 10× 6 – 3× 3× 11 – 3× 3× 10) = 443× 10³;

D ₁= = 400× (30× 30 + 60× 100) = 276× 10⁴;

D ₂= = -400× (-30× 110 – 30× 60) = 204× 10⁴;

D ₀= = 400× (110× 100 – 30× 30) = 404× 10⁴.

Токи ветвей связи I ₁ = = = 6, 23 A;

I ₂ = = = 4, 61 A;

I ₀ = = = 9, 12 A.

Токи ветвей дерева I ₃ = I ₀ – I ₁ = 9, 12 – 6, 23 = 2, 89 A;

I ₄ = I ₀ – I ₂ = 9, 12 – 4, 605 = 4, 52 A;

I ₅ = I ₂ – I ₁ = 4, 605 – 6, 23 = -1, 63 A.

Баланс мощностей E × I ₀ = .

400× 9, 12 = 9, 12²× 10 + 6, 23²× 20 + 4, 61²× 40 + 2, 89²× 60 + 4, 52²× 30 + 1, 63²× 30,

SР_Г = 3648 Вт; SР_П = 3648 Вт.

Баланс мощностей сошёлся. Задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.16. Рассчитать токи во всех ветвях цепи, представленной на рис. 1.24, если:

E ₁ = 100 B, E ₂ = 50 B, r ₁= r ₂= 10 Ом, r ₃= 20 Ом.

Ответы: I ₁ = 4 A; I ₂ = -1 A; I ₃ = 3 A.

r ₁= r ₂= 10 Ом, r ₃= 20 Ом.

Ответы: I ₁ = 6 A; I ₂ = 1 A; I ₃ = 2 A.

ЗАДАЧА 1.18. Определить токи по законам Кирхгофа в ветвях схемы (рис. 1.26) и проверить баланс мощностей, если: E ₁ = 120 B, E ₂ = 60 B, J = 4 A; r ₁= r ₂= 20 Ом, r ₃= 5 Ом, r ₄= 15 Ом.

Ответы: I ₁ = 2 A; I ₂ = -1 A; I ₃ = 1 A,

I ₄ = 5 A, P = 480 Bт.

ЗАДАЧА 1.19. Определить токи в ветвях мостовой схемы (рис. 1.27), если известны параметры цепи:

Е = 4, 4 В, r ₁ = 20 Ом, r ₂ =60 Ом, r ₃ = 120 Ом, r ₄ =8 Ом, r ₅ = 44 Ом.

Ответы: I = 0, 2 А; I ₁ = 0, 156 А; I ₂ = 0, 044 А;

I ₃ = 0, 004 А; I ₄ = 0, 16 A; I ₅ = 0, 04 А.