Асимптоты графика функции

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой на бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота .

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая – асимптота кривой .

Например, для функции прямая является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая имеет наклонную асимптоту .

M

N

P

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте через М. Пусть Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N. Тогда – ордината точки кривой, - ордината точки N асимптоты.

По условию: , , . Угол - постоянный и не равен . Следовательно,

,

.

Тогда .

Следовательно, прямая – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов и .

В полученном выражении выносим за скобки :

.

Так как , то , т.к. , то .

Тогда . Следовательно,

.

Так как , то . Следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при .

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: : . Следовательно, - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

,

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции. Построим график функции.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые и являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

,

– горизонтальная асимптота. Построим график функции.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Построим график функции.