Тема: Дифференциальные уравнения. Преобразования Лапласа.

Практическое занятие 2

Для решения задач анализа и синтеза САР применяются математические модели. Уравнения систем управления могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений высоких порядков. Решение таких уравнений алгебраическими способами вызывают затруднения и требуют больших вычислительных мощностей. Поэтому для решения уравнений системы используют преобразования Лапласа (операционное исчисление).

Задание: выполнить преобразование Лапласа следующих функций:

Прямым преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного определяемая формулой

. (1)

В случае, если функция существует, то функция действительного переменного называется оригиналом, а функция комплексного переменного - ее изображением.

Если функция является оригиналом, а - ее изображением, то в любой точке t, где оригинал непрерывен, имеет место формула

, (2)

где интегрирование производится по любой бесконечной прямой , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла (1).

Равенство (2) определяет обратное преобразование Лапласа функции комплексного переменного . Результат обратного преобразования - функция действительного переменного .

В Mathcad можно в символьном виде выполнить как прямое так и обратное преобразования Лапласа.

1 способ: Чтобы выполнить прямое преобразование Лапласа, необходимо:

1. Ввести выражение, которое нужно преобразовать.

2. Щелкнуть мышью на переменной преобразования.

3. В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду Laplace.

Mathcad возвращает функцию переменной , которая определяется формулой (1). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной .

2 способ: С помощью панели Символьных функций.

Примеры:

,

,

Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, необходимо:

Ввести выражение, которое нужно преобразовать.

Щелкнуть мышью на переменной преобразования.

В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду InvLaplace.

Mathcad возвращает функцию аргумента , которая определяется формулой (2). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной .

Пример. Выполнить обратное преобразование Лапласа функции

,

где - аргумент функции комплексной переменной , , - действительные постоянные числа.

Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь:

Исходная функция:

Результат символьного обратного преобразования Лапласа:

.

Задание

.

.

Пример. С помощью преобразования Лапласа решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях ,

= 1 = 2.

Решение. Найдем прежде всего с помощью Mathcad изображение по Лапласу правой части исходного дифференциального уравнения:

ввод правой части уравнения

результат преобразования по Лапласу правой части уравнения выполненного с помощью Mathcad .

Изображения по Лапласу производных искомой функции с учетом заданных начальных условий будут:

имеет изображение, равное ;

имеет изображение, равное .

Внимание! Изображения по Лапласу производных функции получены без использования Mathcad.

Теперь можно ввести исходное дифференциальное уравнение в изображении по Лапласу

.

При вводе этого уравнения знак равенства вводится одновременным нажатием клавиш < Ctrl > и < = >. Аргумент функции следует опустить.

С помощью Mathcad решим это уравнение относительно . Для этого выделим неизвестную переменную , щелкнув на ней указателем мыши. Затем следует воспользоваться меню Symbolics, выбрать строку Variable и команду Solve. В результате чего получаем

К этому выражению применим обратное преобразование Лапласа так, как это было сделано в предыдущих примерах. Имеем

.

Мы получили решение задачи в изображении по Лапласу, которое имеет вид

и ее решение во временной области

.