Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Квадратурная формула Симпсона
|
|
Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию y =f(x) на отрезке [ xi-1 , xi+1 ] длиной 2 h заменить квадратичной функцией проходящей через три точки A (xi- 1 , yi- 1), B (xi, yi), C (xi+ 1, yi+ 1) (рис.4.5).
Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием [ xi-1 , xi+1 ] по формуле Симпсона имеет вид
| C |
| xi+1 |
| y |
| x |
| A |
| B |
| y=ax2+bx+c |
| y=f(x) |
| xi |
| xi-1 |
| Погрешность |
Рис.4.5. Схема формулы Симпсона
Для определенного интеграла (4.1) отрезок [ a, b ] разбивается на четное число отрезков n =2 m c шагом h=(b-a)/2m. Формула Симпсона в общем случае может быть записана:
где yi=f(xi), i=0, 1, 2, ……, n.
Формула Симпсона обладает повышенной точностью.
Алгоритм для приближенного вычисления интеграла (4.1) по формуле Симпсона:
1. n=2m;
2. h=(b-a)/2m;
3. x0 = a, xi+1 = xi +h (i=0, 1, ……, n-2), xn = b;
4. уi =f (xi ), (i=0, 1, ……, n);
5. M0 =y0 + yn =f(a)+f(b);
Для вычисления интеграла с заданной степенью точности ε надо использовать метод половинного шага, изложенный выше.
n Пример 4.3. Вычислить по формуле Симпсона интеграл
Решение. По формуле (4.13) имеем
Подставляя значения подынтегральной функции 
в узлах х 0=1, х 1=3, х 2=5, х 3=7, х 4=9, получим
что практически совпадает со значением интеграла, вычисленного ранее по формуле Ньютона–Лейбница.
Формула Симпсона, в частности, используется в строительной механике стержневых систем при вычислении интегралов Мора, где подынтегральной функцией является произведение эпюр изгибающих моментов (М 1 М р) или других внутренних усилий. Результат получается точным, если обе перемножаемые эпюры прямолинейны (их произведение – квадратная парабола) или одна из эпюр - параболическая, а другая линейная (произведение – кубическая парабола). Формула Симпсона применима и в тех случаях, когда стержень имеет переменное сечение или криволинейное очертание.
n Пример 4.4. Перемножить две эпюры Мр и М 1, (рис.4.6), используя формулу Симпсона и полагая EJ= Const.
Рис.4.6. Перемножаемые эпюры
| Перемножать эпюры по формуле Симпсона следует на участках, где эпюры меняются плавно без скачков и переломов. При наличии же таковых (в местах приложения сосредоточенных моментов или сил) перемножение надо производить на каждом отдельном участке, где функции меняются плавно. |