Нахождение производной

Мы уже говорили о том, что функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента D x соответствует бесконечно малое приращение функции D y.

Производной функции в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции D y к вызвавшему его бесконечно малому приращению аргумента D x: .

Найдем производную для функции y = x ² в соответствии с определением производной.

Придадим аргументу приращение D x, ему будет соответствовать приращение функции

.

Положим, что значение x фиксировано.

Тогда: , так как D x – бесконечно малая величина. Итак, получили .

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке x ₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале (а, b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.