Динамический анализ механизмов

Цель занятия – освоение методики динамического анализа механизмов.

В динамике механизмов широкое применение находит метод приведения сил и масс для решения задач об определении закона движения механизма, находящегося под действием приложенных к нему сил, с учетом масс звеньев. Это позволяет свести динамическую задачу о движении всей системы подвижных звеньев механизма к задаче о движении одного звена, которое называется звеном приведения. За звено приведения обычно принимают звено, которое совершает вращательное движение относительно стойки. Обычно это ведущее звено, а его координата относительно стойки является обобщенной координатой механизма.

Приведенной силой (или приведенным моментом) называют условную силу, которая, будучи приложенной к звену приведения, совершает на ее возможном перемещении ту же работу, что и все приложенные к механизму силы на их возможных перемещениях. Вместо понятия работы можно оперировать понятием мощности.

Приведенной массой называется условная масса, сосредоточенная на звене приведения, кинетическая энергия которой равняется сумме кинетических энергий тех звеньев, массы и моменты инерции которых приводятся к этой точке. В случае вращательного движения звена приведения пользуются понятием приведенного момента инерции.

В теории установлено, что приведенная масса и приведенный момент инерции зависят от отношений квадратов скоростей ведомых звеньев и звена приведения. Но отношения скоростей для каждого конкретного механизма зависят только от его положения, т. е. являются функцией от обобщенной координаты. Для зубчатого механизма с постоянным передаточным отношением это отношение вообще является постоянной величиной.

Рассмотрим это на примере рядового зубчатого механизма (рисунок 14). Требуется найти приведенный к валу О₁ момент М_пр и приведенный к тому же валу момент инерции I_{п р} от массы колеса 3, если к колесу 3 приложен момент М₃ = 4 Нм, а момент инерции колеса относительно его оси вращения I₃ = 0, 04 кг× м², числа зубьев колес Z₁ = 20 и Z₃ = 60.

Рисунок 14 - Приведение момента силы и момента инерции
в рядовом зубчатом механизме

При решении задачи следует воспользоваться следующими формулами:

М_пр = М₃ ω ₃ / ω ₁ ;

I_пр = I₃ (ω ₃ / ω ₁)².

Следующим шагом при решении динамической задачи является составление и решение уравнения движения звена приведения.

Уравнение движения в дифференциальной форме для вращающегося звена приведения выглядит следующим образом:

I_пр ε + ω ² /2 (dI_пр / dφ) = М_дв - М_с,

где φ, ω, ε – соответственно угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение звена приведения;

М _дв – приведенный момент движущих сил;

М_с - приведенный момент сил сопротивления;

I_пр – приведенный момент инерции механизма.

Если приведенный момент инерции Iпр постоянен, то уравнение движения упрощается:

I_пр ε = М_дв - М_с.

Решение дифференциальных уравнений относится к компетенции математики. Во многих случаях можно воспользоваться некоторыми простыми решениями.

Рассмотрим следующий пример.

На рисунке 15 представлена схема колодочного тормоза. Диск, вращающийся с угловой скоростью ω, затормаживается силой трения, возникающей при приложении к рычагу силы Р. Требуется установить время и число оборотов до полной остановки диска.

Рисунок 15 - Колодочный тормоз

Пусть I_пр = 0, 4 кгм²; Р = 20 Н; f = 0, 2; R = 0, 1м; ω = 100 рад/с.

К диску приложен тормозной момент:

M_тр = F_тр R = f N R = f 2 P R = 0, 8 Н м.

С учетом того, что I_пр = const, уравнение запишется так:

I_пр ε = М _пр,

где М_пр = - М_тр.ε = const, имеет место равноускоренное движение.

Перепишем уравнение, разделив переменные и проинтегрировав. Опуская элементарные преобразования, в итоге получим уравнение

ω = (М_пр / I_пр) t + C₁,

где С₁ - постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: при t = 0, ω = ω ₀, тогда С₁ = ω ₀ .

После интегрирования уравнения получим

φ = (М_пр / I_пр) t² / 2 + ω ₀ t + C_2,

где С₂ - постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: при t = 0, φ ₀ = 0, тогда С₂ = φ ₀ .

Из последнего уравнения можно определить время до полной остановки:

0 = - (0, 8/ 0, 4) t + 100 → t = 50 c.

Из того же уравнения находится угол поворота диска до полной остановки:

φ = - (0, 8 / 0, 4) 50² / 2+ 100× 50 = 2500 рад = 398 об.

Контрольные вопросы

1 Что такое звено приведения?

2 Что такое приведенная сила, приведенная масса, приведенный момент инерции?

3 Запишите дифференциальное уравнение движения механизма c постоянным приведенным моментом инерции.

4 Каким методом можно решить это дифференциальное уравнение движения механизма с постоянным моментом инерции?

5 Что такое постоянные интегрирования и из каких условий они определяются?

Кинематический анализ планетарных зубчатых механизмов

Цель занятия – освоение методики кинематического анализа планетарных механизмов на основе использования принципа обращения движения.

Планетарным называется зубчатый механизм, в котором имеются колеса с подвижными осями. Рядовым называется зубчатый механизм, в котором все колеса имеют неподвижные оси вращения. Простейший зубчатый механизм, образованный двумя зубчатыми колесами и стойкой, называется зубчатой передачей.

Исследование планетарного механизма производится путем сведения его к соответствующей схеме рядового зубчатого механизма. Для этого следует применить прием обращения движения. Сущность его состоит в том, что всему механизму условно сообщается дополнительное вращательное движение вокруг его центральной оси со скоростью, равной скорости водила, но в противоположном направлении. В результате этого все звенья приобретают дополнительную скорость, равную, но противоположную по направлению ω _H, а водило становится неподвижным звеном.

Таким образом, планетарный механизм превращается в рядовой зубчатый механизм. Записывается выражение для определения передаточного отношения для этого рядового механизма через числа зубьев. Из этого выражения находятся угловые скорости звеньев.

Ту же задачу можно решить проще, используя формулу Виллиса:

I_1Hⁿ = 1 – i_1n^H.

В этой формуле верхний индекс указывает, какое звено в механизме неподвижно. В результате прочтения этой формулы следует, что i_1Hⁿ есть искомое передаточное отношение планетарного механизма при ведущем колесе 1 и ведомом водиле H, а i_1n^H есть передаточное отношение соответствующего рядового зубчатого механизма от колеса 1 к колесу с номером n при остановленном водиле.

Эту формулу можно применять и для планетарного механизма, в котором ведущим является водило, имея в виду, что i_H1 = 1 / i_1H.

Пример 1. Для редуктора Джемса подсчитать передаточное отношение i_1H при Z₁= Z₂ = 20 и Z₃ = 60 (рисунок 16).

Используем формулу Виллиса:

I_1H ³= 1 – i₁₃^H = 1 – (- Z₂/Z₁) (Z₃/Z₂) = 4.

Рисунок 16 - Трехколесный планетарный механизм (механизм Джемса)

Пример 2. Для редуктора Давида (рисунок 17) подсчитать передаточное отношение i_H1 при Z₁ = Z₃ = 100, Z₂ = 99, Z₄ = 101.

На основе формулы Виллиса запишем выражение

i_H1 = 1 / i_1H = 1 / (1 – i₁₄^H) = 1 / (1 – Z₂ Z₄ / Z₁Z₃) =

= (1 – 99 × 101 / 100 × 100) =10000.

Для более сложных планетарных механизмов удобнее пользоваться методом обращения движения, нарисовав рядом с планетарным механизмом сопутствующий ему обращенный механизм и записав соответствующие выражения для рядового зубчатого механизма.

Задачи об определении передаточного отношения многоступенчатого зубчатого механизма надо решать в следующей последовательности:

1) определить число ступеней механизма;

2) найти передаточные отношения каждой ступени;

3) перемножить передаточные отношения, полученное число будет искомым передаточным отношением.

Таким путем исследуются комбинированные механизмы, включающие планетарные и рядовые ступени.

Рисунок 17 - Четырехколесный планетарный механизм (механизм Давида)

Контрольные вопросы

1 Что такое планетарный механизм?

2 Назовите звенья планетарного механизма и охарактеризуйте их движение.

3 В чем сущность метода обращения движения?

4 Как определяется передаточное отношение зубчатого ряда?

5 Запишите формулу Виллиса и объясните как ею пользоваться.

8 Графический метод кинематического анализа планетарных
механизмов

Цель занятия – овладение методикой графического анализа и синтеза планетарных механизмов.

Графический метод анализа планетарных механизмов очень нагляден и позволяет легко производить кинематический анализ планетарных механизмов любой сложности.

В основе графического метода лежат два положения кинематики вращательного движения.

1 Скорость точки звена, совершающего вращательное движение, является линейной функцией радиуса вращения.

2 Любое плоское движение можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг мгновенного центра скоростей (МЦС).

В качестве примера рассмотрим комбинированный планетарный механизм, представленный на рисунке 18.

Рисунок 18 - Графический метод исследования планетарного механизма
с использованием плана линейных скоростей и плана угловых скоростей

Справа от схемы построена линия полюсов, от которой откладываются линейные скорости точек звеньев механизма. Точки на линии полюсов находятся в проекционной связи с точками на механизме.

Построение плана скоростей механизма начинается с точки А. Скорость точки С равна нулю, следовательно эта точка является МЦС блока сателлитов. Соединим точки А и С на плане скоростей. Линия АС называется картиной скоростей блока сателлитов. Проведя линию проекционной связи с точкой В на механизме, найдем скорость этой точки. Соединив точку С на плане скоростей с точкой О, получим картину скоростей водила. Дальнейшее построение плана скоростей производиться аналогично.

На рисунке 18 справа внизу построен план угловых скоростей. Он строится на основе уже построенного плана линейных скоростей.

Выбирается полюсное расстояние ОР произвольной величины. Из точки Р строятся линии, параллельные картинам скоростей соответствующих звеньев. Отрезки, которые они отсекают от горизонтальной прямой, проведенной через точку о перпендикулярно к полюсному расстоянию, в некотором масштабе представляют угловые скорости звеньев.

На рисунке 19 приведены схемы планетарных механизмов, для которых нужно построить планы линейных и угловых скоростей звеньев.

Контрольные вопросы

1 Какие два положения механики используются при графическом методе кинематического анализа планетарных механизмов?

2 Что такое картина скоростей звена?

3 Как определить величины линейных скоростей точек звеньев механизма, используя план линейных скоростей звена?

4 Как строится план угловых скоростей звеньев?

5 Как определить величину передаточного отношения и его знак, используя план угловых скоростей?

9 Синтез планетарных механизмов

Цель занятия – овладение методикой проектирования планетарных механизмов.

При решении данной задачи ограничимся только соблюдения условия заданного передаточного отношения, условия соосности и условия сборки.

Пусть в качестве примера выбрана схема четырехколесного планетарного механизма, для которой нужно подобрать числа зубьев колес, обеспечивающие передаточное отношение, равное 12 (рисунок 19).

Рисунок 19 - Схема к задаче синтеза планетарного механизма

1 Определим передаточное отношение соответствующего обращенного механизма:

I₁₄^H = 1 – i_1H = -11.

2 Разложим полученное передаточное отношение на множители. Здесь возможны различные варианты, например:

I₁₄^H = Z₂ Z₄ / Z₁ Z₃ = 220 / 20 = 4 ∙ 55 / 4∙ 5.

3 Запишем условие соосности и проверим его выполнение для принятых чисел зубьев:

Z₁ + Z₂ = 4 + 4 = 8; (1)

Z₄ – Z₃ = 55 – 5 = 50. (2)

4 Условие соосности, как правило, не выполняется. Для его выполнения нужно умножить верхнюю формулу (1) на 50, а нижнюю флормулу (2) – на 8. Тогда имеем

Z₁ = 200, Z₂ = 200, Z₃ = 40, Z₄ = 440.

5 Полученные числа зубьев очень велики и поэтому их можно сократить на общий множитель 4. Тогда имеем

Z₁ = 80, Z₂ = 80, Z₃ = 10, Z₄ = 110.

6 Полученные числа зубьев следует проверить на условие сборки. Для четырехколесного планетарного механизма это условие выражается в виде следующей формулы:

C = Z₁ i_1H⁴ (1 + k P) / k,

где P – любое целое число;

k – число сателлитов.

Проверка выполнения условия сборки состоит в том, что при подстановке значений числа зубьев Z₁ = 80, передаточного отношения i_1H⁴ = 11, числа сателлитов, например 3, и числа Р = 1, число С должно получиться целым. В данном случае С = 118, следовательно, условие сборки выполняется.

Для трехколесного планетарного механизма типа Джемса (см. рисунок 17) условие сборки формулируется проще: сумма чисел зубьев центральных колес должна быть кратна числу сателлитов [3].

Рисунок 20 - Схемы сложных планетарных механизмов

Контрольные вопросы

1 Какие условия должны соблюдаться при синтезе планетарных механизмов?

2 Какова последовательность подбора чисел зубьев колес планетарного механизма, исходя из заданного передаточного отношения и условия соосности?

3 В чем состоит условие сборки? Как формулируется это условие для трехколесного планетарного механизма?

10 Кинематический анализ кулачковых механизмов методом
графического дифференцирования

Цель занятия – освоение методики анализа кулачковых механизмов методом графического дифференцирования, а также закрепление основных математических понятий, касающихся интегральных и дифференциальных связей между кинематическими характеристиками.

Кинематическое исследование кулачкового механизма проводится с целью определения законов движения выходного звена - толкателя или коромысла. Вначале методом кинематических диаграмм, изложенным на лекции и в учебной литературе, строится график перемещения ведомого звена. Для этого предварительно следует познакомиться с основными параметрами кулачкового механизма: минимальным радиусом, рабочим углом, центровым профилем и т.д., а также с методами построения графика перемещения для различных схем кулачковых механизмов [2, 3].

Между перемещением, скоростью и ускорением существует дифференциальная связь. Метод графического дифференцирования базируется на графическом представлении производной.

График перемещения разбивается на некоторое число интервалов. Затем строятся хорды интервалов графика перемещений. На графике скорости (рисунок 21, б) слева от начала координат откладывается произвольно выбранное полюсное расстояние и из полюса строятся лучи, параллельные хордам соответствующих интервалов. Отрезки, отсекаемые на оси ординат этими лучами, сопоставляются с серединами интервалов. Полученные точки представляют скорости на серединах интервалов. Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график скорости толкателя. График ускорения строится аналогично.

Анализируя полученные графики, можно установить наличие или отсутствие мягких и жестких ударов, а также получить другую полезную информацию.

На рисунке 21 представлен пример построения графиков перемещений скоростей и ускорений толкателя кулачкового механизма.

Рисунок 21 - Графики перемещения, скорости и ускорения толкателя
в кулачковом механизме

Контрольные вопросы

1 Как строится график перемещений ведомого звена кулачкового механизма?

2 Какие основные параметры кулачкового механизма Вы знаете?

3 Что такое центровой профиль?

4 В чем состоит метод графического дифференцирования?

5 Что такое жесткий и мягкий удар в кулачковом механизме?

Список литературы

1 Машков, А. А. Теория механизмов и машин / А. А. Машков. - Минск: Выш. шк., 1971. - 471 с.

2 Кожевников, С. Н. Теория механизмов и машин / С. Н. Кожевников. - М.: Машиностроение, 1969. - 584 с.

3 Теория механизмов, машин и манипуляторов: учеб. пособие [Электронный ресурс] / Л. А. Борисенко. - Могилев, 2006. - Режим доступа: http: // bru.mogilev.by