Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти.

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: или r

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: .

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: .

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: .

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Выполним чертёж:

7.1) Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Обратное проверочное действие:

7.2) Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .

Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

7.3) Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Очевидно, что (или 180 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:

7.4) Представить в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент. ,

(-90 градусов), и, соответственно: .

Рассмотрим более распространенные случаи.

Модуль вычисляется по формуле . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если > 0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если x < 0, y > 0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если x < 0, y < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

8.1. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x > 0, y > 0 . ,

Следовательно
8.2. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , x < 0, y > 0 .

Следовательно

8.3. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x < 0, y < 0 . ,

Следовательно
8.4. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x > 0, y < 0 . ,

Следовательно