Задачи к 8-7

Работа. Площадь под графиком.

1. Гирю массой m поднимают за веревку силой F на высоту h. Определить работу силы F и силы тяжести.

1. Груз массой m=2 кг подняли на высоту h= 2 м по гладкой наклонной плоскости с углом 30⁰, действую силой F=30 Н. Найти работу всех сил, действующих на тело.
2. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы перетащить доску длиной L с гладкой половины стола на шершавую, на которой на доску действует максимальная сила трения F?
3. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить из бутылки наполовину раскрошенную пробку, если для извлечения целой пробки надо было совершить работу А?

5. В комнате стоят 6 одинаковых бочек, которые необходимо придвинуть к стенке. В первом случае все бочки расположены на одной прямой, параллельной стене, на расстоянии L от стены. Во втором случае на расстоянии L от стены стоит первая бочка, а остальные бочки стоят за ней на одной прямой, перпендикулярной к стенке, на равном расстоянии L друг от друга. Сила трения днища бочки о пол составляет 0, 1 от веса бочки. В каком случае работа по перемещению бочек к стене больше и во сколько раз? Приложенная сила направлена горизонтально у днища бочки. Диаметр бочки значительно меньше L

Пусть для перемещения одного ящика на расстояние L надо совершить работу B. Тогда А=NB. Если ящики выстроены перпендикулярно стенке, то для перемещения первого ящика опять надо совершить работу В, для перемещения второго 2В, третьего 3В и так далее в зависимости от числа ящиков. Общая работа равна сумме арифметической прогрессии A₁=

1. В дне стакана с жидкостью плотность которой равномерно убывает с высотой от 4ρ до ρ лежит тонкая спица, имеющая плотность 6ρ. Высота жидкости H. Какую работу надо совершить, чтобы поднять центр тяжести спицы на высоту H над поверхностью жидкости? Объем спицы V. (1й способ через график)
2. Канат длиной 5 м и массой 8 кг лежит на земле. Один его конец подняли на высоту равную двум длинам каната, какую работу при этом совершили? (1й способ через график)

Простые механизмы: рычаг, блоки, наклонная плоскость, гидравлический пресс.

1. Работа по подъему грузов в системе с блоками
2. Подъем в гору по наклонной плоскости
3. Подъем рычагом

Во всех примерах выигрыш в силе = проигрыш в перемещении. Но работа постоянная. правда есть КПД из-за трения, весомости самой системы и т.п.

Мощность как сила на скорость

1. Троллейбус массой m = 12× 10³ кг на некотором горизонтальном прямолинейном участке увеличил скорость с V₁ = 5 м/с до V₂ = 10 м/с. Двигатель троллейбуса развивал постоянную мощность N = 60 кВт. Пренебрегая сопротивлением движению, найти максимальное и минимальное значения силы тяги троллейбуса на этом участке. Вначале или в конце он разгонялся быстрее?

12. Жил был человек, у которого были Жигули, на которых ему удавалось разгоняться по ровной дороге только до 200 км/ч. Он решил поставить на них мотор от какой-нибудь иномарки. В ближайшем автосервисе его просьбу удовлетворили и поставили мотор от Запорожца. После этого даже на ровной дороге он не смог выжать больше 100 км/ч. Это не устроило клиента, и он поехал в другой автосервис, в который вела уходящая вверх дорога, на которой ему удалось ехать со скоростью не более 50 км/ч. Оставив машину наверху, хозяин не поставил машину на ручной тормоз и ушел. В результате машина поехала. До какой максимальной скорости смог разогнать автомобиль с выключенным мотором под горку вниз? Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля. Трения в осях нет. Массу машины считать постоянной. 132 км/ч.

13. Поднимаясь равномерно, как всегда из окна Малыша к себе на крышу, Карлсон в тот день, когда его угостили вареньем, затратил на подъем на 4 с больше чем обычно. Какова масса съеденного им варенья, если мощность мотора 75 Вт, а высота подъема 10 м?

14. На наклонной поверхности клина лежит однородный цилиндр массы m, на который намотана веревка. Свободная часть веревки перекинута через блок. Какую силу F следует прикладывать к веревке для того, чтобы поднимать цилиндр? Длина наклонной поверхности клина равна L, его высота — H. Проскальзывания между цилиндром и клином нет.

Предоложим, свободный конец веревки сместили вниз на длину x, совершив работу A = F · x. Центр цилиндра при этом переместится на расстояние l вдоль наклонной плоскости и поднимется на некоторую высоту h. Смещение свободного конца веревки складывается из: 1) перемещения самого цилиндра, равного l и 2) удлинения веревки, за счет того, что она отматывается от цилиндра, также на длину l. Таким образом x = l + l = 2 l. Из подобия треугольников легко заключить, что H / L = h / l ⇒ h = Hl / L. Совершенная работа должна равняться увеличению потенциальной энергии равному Δ U = mgh, поэтому F · x = F · 2 l = mg · Hl / L ⇒ F = mgH /2 L Ответ: F = mgH /2 L

15. Пластмассовый кубик со стороной 10 см привязан к невесомой нерастяжимой нити, которая намотана на катушку. Первоначально он безразлично плавает в толще жидкости плотность которой меняется с высотой по закону изображенному на графике. Наматывая катушку, кубик вытаскивают из бассейна так, что нижняя грань кубика касается жидкости. Плотность жидкости зависит от глубины. График этой зависимости представлен на рисунке. Постройте график зависимости силы натяжения нити от длины ее намотанной части. Плотность пластмассы, из которой сделан куб, равна r = 1350 кг/м³. Найти работу совершенную лебедкой.

Пусть длина размотанной части нити равна L. Разобьем процедуру погружения на три части. Сначала кубик погружают так, что глубина не превосходит а (а - ребро кубика). Так как зависимость плотности от глубины линейна, то можно ввести " среднюю плотность", т.е. заменить слой жидкости с переменной плотностью, в который погружен кубик, на слой жидкости с некоторой средней плотностью, равной . Заметим, что сила Архимеда в жидкости с такой плотностью равна силе Архимеда, действующей на кубик со стороны жидкости с первоначальным распределением плотности. Эта выталкивающая сила равна: Затем кубик погружают так, что объем его погруженной части не меняется. Средняя плотность в этом случае вводится по формуле . Сила натяжения в этом случае равна . Когда нижняя грань кубика окажется на глубине 40 см, плотность кубика станет равна средней плотности жидкости, и кубик перестанет тонуть. При этом сила натяжения нити станет равна 0 и при дальнейшем сматывании нити изменяться не будет - нить просто будет провисать.

1. Предлагается построить подводную лабораторию на большой глубине. Для этого под воду опускают легкие модули объема V с помощью прикрепленного к ним балласта массы M. После этого модули закрепляют на дне, а балласт медленно поднимают на борт судна. Каков коэффициент полезного действия описанного способа погружения? Плотность вещества балласта ρ, плотность воды ρ _о, ускорение свободного падения g. Размерами модуля и балласта по сравнению с глубиной погружения пренебречь.

Коэффициент полезного действия определяется как отношение полезной и затраченной в данном процессе работы. Полезная работа в данном случае будет равна изменению потенциальной энергии воды в океане после погружения модуля и извлечения балласта. Обозначим глубину океана через h. Тогда:

Затраченная работа равна работе по подъему балласта и вычисляется согласно определению. Сила, которую необходимо приложить для подъема груза:

Соответственно:

Коэффициент полезного действия:

Заметим также, что неравенство η < 1 обеспечивается условием погружения модуля с балластом.