Исследование устойчивости систем автоматического управления

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное построение областей устойчивости линейных систем автоматического управления и изучение влияния на устойчивость системы её параметров.

2. УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

При подготовке к данной лабораторной работе необходимо изучить тему «Устойчивость систем автоматического управления» по литературе [1] - [4].

3. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Под устойчивостью САУ понимается способность системы возвращаться в заданное состояние или к заданному закону движения после отклонений, вызванными внешними возмущающими воздействиями.

Физической причиной неустойчивости замкнутых систем является инерционность их элементов, из-за чего воздействие обратной связи, направленное на ликвидацию отклонения, запаздывает и поступает на вход объекта регулирования, когда отклонение уже изменилось. Этот процесс протекает либо в виде непрерывно возрастающего отклонения от заданного закона движения, либо в виде колебаний вокруг заданного значения выходной величины.

Устойчивость системы зависит от знака вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы:

,

.

Кроме этого корневого критерия устойчивости существуют косвенные критерии: алгебраические – Гаусса и Гурвица, частотные – Михайлова и Найквиста.

С повышением точности САУ, т.е. с увеличением коэффициента усиления, система становится менее устойчивой. Это объясняется тем, что с ростом коэффициента усиления на объект управления обратная связь действует сильнее. При этом увеличиваются отклонения под действием запаздывающего сигнала обратной связи.

Максимальный коэффициент, при котором система сохраняет устойчивость, называется критическим (К_кр).

Кроме коэффициента усиления, устойчивость зависит от инерционных свойств звеньев системы: постоянных времени и постоянных запаздывания. Поэтому устойчивость часто рассматривают как функцию двух или нескольких параметров. Обычно это – коэффициент усиления и постоянная времени одного из звеньев. На основании любого критерия устойчивости могут быть получены области устойчивости в плоскости двух параметров.

Под областью устойчивости в пространстве параметров понимается множество значений параметров, при которых система является асимптотически устойчивой.

Под областью неустойчивости, соответственно, понимается множество значений параметров, при которых система является неустойчивой. Области устойчивости и неустойчивости отделены друг от друга так называемыми границами устойчивости.

Граница устойчивости связывает выбранные параметры в предельном режиме перехода к неустойчивости, так что Ккр=f(T).

Эта зависимость может быть получена расчётным путём на основе любого критерия устойчивости.

Например, по критерию устойчивости Михайлова система находится на границе устойчивости, если годограф

(2.31)

проходит через начало координат.

Таким образом, уравнение границы устойчивости в пространстве варьируемых параметров К и Т, согласно этому критерию примет вид:

. (2.32)

Исключив из уравнения (2.32) w, можно вывести уравнение границы устойчивости, связывающее параметры Т и Ккр.

Зависимость Ккр=f(Т) в данной работе определяется экспериментальным путём.

4. ПРОГРАММА РАБОТЫ

4.1. Собрать схему модели системы в соответствии с вариантом задания.

4.2. Экспериментальным путём получить границу устойчивости системы Ккр=f(T).

4.3. Выбрать точку на графике Ккр=f(T). Составить скрипт для построения годографа Михайлова системы с выбранными параметрами.

4.4. Сравнить результаты эксперимента и расчёта.

5. УКАЗАНИЯ И ПОЯСНЕНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

5.1. Соберите схему моделирования для системы, представленной на рис.2.6. Моделирование проводите с использованием приложения Simulink программного пакета MATLAB. На рабочем поле пакета разместите из окна Math Operation сумматор (Sum) и усилитель (Gain), из окна линейных элементов Continuos - два формирователя передаточных характеристик (Transfer function) и интегратор (Integrator). Соедините элементы между собой как показано на рисунке. К входу системы подключите источник питания (Step) из поля источников (Sources), а к выходу – из приборов (Sinks) – осциллограф (Scop).

5.2. Установите значение постоянной времени Т1 в соответствии заданным вариантом (см. таблицу 2.7).

5.3. Установите значение постоянной времени Т равное 0, 1 с.

5.4. Изменяя коэффициент усиления К, подберите такое его значение, при котором система находится на границе устойчивости. Тип устойчивости системы определяется по виду переходного процесса. Для его получения подайте на вход системы единичный ступенчатый сигнал с источника питания Step (step time – 0, initial volue - 0, final volue – 1).

5.5. Для получения следующей точки границы устойчивости измените значение постоянной времени Т. Количество точек, необходимых для построения границы устойчивости, должно быть не менее 10.Диапазон изменения постоянной времени Т – от 0, 1 до 5с. Результаты эксперимента занесите в таблицу 2.8. Постройте график Ккр=f(T).

5.6. Выберите точку на графике Ккр=f(T). Для выбранных параметров системы постройте годограф Михайлова.

5.7. Сравните результаты расчёта и эксперимента.

Рис. 2.6 Структурная схема линейной системы автоматического
управления

Таблица 2.7

Варианты задания

Таблица 2.8

Граница устойчивости

а)

б)

Рис. 2.7 Скрипт (а) и результат расчета (б) годографа Михайлова

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

Отчет должен содержать следующие разделы:

1. Цель работы.

2. Программа работы.

3. Результаты работы.

Примечание: этот раздел должен содержать структурную схему, схему модели системы, экспериментальную зависимость Ккр=f(T), скрипт вычисления и годограф Михайлова.

4. Выводы.

5. Использованная литература.

7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

7.1. Сформулировать критерии устойчивости Гурвица, Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий.

7.2. Как по логарифмическому критерию устойчивости определить К_кр и w_кр?

7.3. Как построить К_кр(Т), используя критерий устойчивости Гурвица?

7.4. Сформулируйте корневой критерий устойчивости.

7.5. Постройте, используя любой критерий устойчивости, зависимость Ккр=f(T) для варианта системы, передаточная функция которой имеет вид, указанный в таблице 2.9.

Таблица 2.9

№ варианта	Передаточная функция разомкнутой системы