Динамика материальной точки, движущейся по окружности

2.42. Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения f = 0, 4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

2.43. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом r = 4 м. С какой наименьшей скоростью v _min должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?

2.44. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила натяжения Т шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол j с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири?

2.45. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета v = 100 м/с?

2.46. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол j образует шнур с вертикалью, если частота вращения n = 1 с^–1?

2.47. Грузик, привязанный к нити длиной l = 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения, если нить отклонена на угол j = 60° от вертикали.

2.48. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0, 1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 с^–1? Масса т маховика равна 100 кг.

2.49. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11, 2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l = 0, 8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения f покрышек о поверхность цилиндра равен 0, 6. С какой минимальной скоростью v _min должен ехать мотоциклист? Каков будет при этом угол j наклона его к плоскости горизонта?

2.50. Автомобиль массой m = 5 т движется со скоростью v = 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост в его верхней части, если радиус R кривизны моста равен 50 м.

2.51. Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 2 с^–1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол j наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 5 см от оси?

2.52. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения f колес о покрытие дороги равен 0, 1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

2.53. Какую наибольшую скорость v _max может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент трения скольжения f между шинами и асфальтом равен 0, 3? Каков угол j отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?

2.54. Самолет массой m = 2, 5 т летит со скоростью v = 400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол j наклона самолета и подъемную силу F крыльев во время полета.

2.55. Вал вращается с частотой п = 2400 мин ^–1. К валу перпендикулярно его длине прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m = 1 кг каждый, находящиеся на расстоянии r = 0, 2м от оси вала. Найти: 1) силу F, растягивающую стержень при вращении вала; 2) момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом j = 89° к оси вала.

2.56. Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см вращается относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить нормальное напряжение σ, возникающее в кольце в двух случаях: 1) когда ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и 2) когда лежит в плоскости кольца. Деформацией кольца при вращении пренебречь.