Вариация и ее показатели.

Вариацией называется изменяемость (колеблемость) величины количественного признака у единиц совокупности.

Вариация бывает пространственной и временной. Вариация в пространстве означает изменяемость значений признака по отдельным территориям (например, численность населения районов области на данный момент времени колеблется от 65 до 182 тыс. чел.) Вариация во времени предполагает изменение значений признака конкретной совокупности в течение определенного периода времени. Например, средняя цена определенного товара на рынке за первое полугодие находилась в пределах от 56 руб. (март) до 90 руб. (июнь).

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям относят:

1. Размах вариации R. Он показывает различие между максимальным и минимальным значениями признака Х в совокупности и рассчитывается как разность между ними:

R = X_max – X_min.

Величина R не учитывает характера изменений признака в совокупности и зависит только от его крайних значений, которые могут быть случайными (значительно отличающимися от ближайших с ними значений). Вследствие этого R для одной и той же совокупности может изменяться в довольно широком интервале, что не позволяет считать этот показатель точной характеристикой данной совокупности. Например, более 95% жителей поселка имеют доход 20-50 тыс. руб., 4% – 7-13 тыс. и 70-120 тыс., а 1% (2 человека) – 1 тыс. и 140 тыс. руб. Размах вариации дохода R при этом будет равен 140 – 1 = 139 тыс. Доход этих двух человек является явно случайным, и если их (или одного из них) не учитывать, то величина R будет равна либо 113 (120 – 7), либо 119 (120 – 1), либо 133 (140 – 7). Если же считать случайными значениями доходы 5% населения, то величина R значительно уменьшится и составит 30 тыс. (50 – 20).

Поэтому наличие в совокупности аномальных значений признака (очень маленьких и очень больших по сравнению с основной массой его значений) не позволяет дать достоверной ее характеристики, и в этом состоит основной недостаток размаха вариации.

Отметим, что размах вариации является исторически первой характеристикой совокупности, вошедшей в систему показателей вариации, и сформировался он еще во времена описательной статистики.

Позже для анализа совокупности была сделана попытка использовать среднее значение ее признака. Однако, поскольку средняя зависит только от конкретных величин отдельных признаков, но не от их колеблемости, т. е. разницы значений их соседних единиц, еще позже для этой цели был принят показатель, связанный со средним значением признака, но учитывающий отклонения величины каждого ее признака от этой средней. Так как сумма отклонений значений признаков от средней всегда равна нулю, при расчетах используется абсолютная величина этих отклонений. Такой показатель, отражающий колебания варьирующего признака в совокупности, называется средним линейным отклонением.

2. Среднее линейное отклонение . Оно вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений признака Х от их средней величины :

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности. Однако, с точки зрения математики оно неудобно тем, что при его расчете приходится иметь дело с отрицательными величинами. Чтобы этого избежать, отклонения было предложено возводить в квадрат, в результате чего был получен новый показатель вариации – дисперсия.

3. Дисперсия . Это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака Х от их средней величины. Дисперсия рассчитывается по формуле:

Дисперсия представляет собой среднюю величину квадратов отклонений, поэтому как абсолютный показатель она не совсем корректна (с этой точки зрения она – квадрат абсолютного показателя). Так как варианты признака выражаются в первой степени, мера их вариации должна быть взята также в первой степени. Поэтому из дисперсии необходимо извлечь квадратный корень. Полученный при этом показатель называется средним квадратическим отклонением.

4. Среднее квадратическое отклонение согласно определению вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

.

Приведенные формулы вычислений , , предназначены для несгруппированных данных и представляют собой расчет этих показателей по формулам средней арифметической простой. Для сгруппированных данных показатели вариации рассчитываются по соответствующим формулам средней арифметической взвешенной:

.

В этих формулах f_i – вес соответствующего варианта.

Таким образом, несовершенство такого показателя, как размах вариации R, связанное с высокими и низкими значениями признака X_i, которые резко отличаются от основной массы его значений в совокупности и имеют случайный характер, устраняется привлечением других, более усовершенствованных показателей – , , .

Рассмотренные показатели вариации, являясь абсолютными, выражены в натуральных единицах (метры, литры, тонны, рубли, штуки и пр.); исключение составляет лишь дисперсия (она в силу формулы расчета выражена в квадрате натуральных единиц).

Для сравнения изменяемости различных признаков в одной и той же совокупности или изменяемости одного и того же признака в разных совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных единицах. При этом базой для сравнения является средняя арифметическая. В соответствии с этим относительные показатели получают из соответствующих абсолютных, относя их к средней арифметической, и выражают в процентах. Таким образом вычисляют следующие относительные показатели (коэффициенты):

1. Коэффициент осцилляции V_R:

V_R =

2. Линейный коэффициент вариации V_d:

V_d =

3. Коэффициент вариации :

=

Рассмотренные относительные показатели вариации рассчитываются также для средней арифметической простой, так и взвешенной.