Экстремум функции

При исследовании функции приходится определять характер её поведения. Для этого можно использовать средства дифференциального исчисления.

Пусть функция дифференцируема в интервале (a, b). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если производная в интервале (a, b) положительна, то функция в этом интервале возрастает;

2) если производная в интервале (a, b) отрицательна, то функция в этом интервале убывает.

Эти утверждения являются достаточными условиями возрастания и убывания (монотонности) функции.

Пример 1. Исследовать функцию на монотонность.

Решение. Функция определена на всём множестве действительных чисел, т.е. . Найдём производную: . Функция возрастает, если , т.е. или же . Решив это неравенство, получим, что функция возрастает при . Функция убывает, если , т.е. или . Решив последнее неравенство, получим, что при функция убывает. Таким образом, интервалами монотонности функции являются .

Пример 2. Исследовать функцию на монотонность.

Решение. Функция определена в интервалах и . Точка х =3 является точкой разрыва второго рода. Производная функции отрицательна во всех точках области определения. Поэтому функция убывает в интервалах и , которые и являются интервалами монотонности функции.

Особую роль в исследовании функции играют такие значения х, которые отделяют интервалы возрастания и убывания функции. В этих точках функция меняет характер своего поведения.

Функция имеет в точке максимум, если есть наибольшее значение этой функции в некоторой окрестности данной точки. Функция имеет в точке минимум, если есть наименьшее значение этой функции в некоторой окрестности данной точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а максимум и минимум называются экстремумами функции.

Если в точке функция достигает экстремума, то её производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Это утверждение является необходимым признаком (условием) экстремума.

Следует иметь в виду, что необходимый признак экстремума не является достаточным. Это означает, что если в какой-то точке производная функции равна нулю, то эта точка не обязательно будет точкой экстремума.

Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, называются критическими.

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и всюду в этой окрестности имеет производную, а в точке производная либо равна нулю, либо не существует. Тогда имеет место первый достаточный признак (первое достаточное условие) экстремума:

1) если при переходе через точку слева направо производная функции меняет знак с «+» на «-», то в точке функция имеет максимум;

2) если при переходе через точку слева направо производная функции меняет знак с «-» на «+», то в точке функция имеет минимум;

3) если при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в точке функция экстремума не имеет.

При исследовании функции на экстремум имеет смысл придерживаться следующей схемы:

1) найти область определения функции;

2) найти производную функции и приравнять её нулю;

3) решить полученное уравнение и найти критические точки;

4) все полученные точки расположить в порядке возрастания и разбить область определения этими точками на частичные интервалы, в каждом из которых производная сохраняет знак;

5) найти знак производной в каждом из частичных интервалов и по знаку производной определить характер изменения функции в этих интервалах: возрастает или убывает;

6) по изменению знака производной при переходе через границы интервалов определить точки экстремума;

7) вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример.3. Найти экстремум функции .

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. . Найдём производную, приравняем её нулю и решим полученное уравнение: , , , , . Точки и являются критическими. Разобьём область определения функции критическими точками на частичные интервалы, которые являются интервалами монотонности функции, и по знаку производной определим характер изменения функции в каждом из этих интервалов:

x			(0, 4)
	+		_		+
y	возрастает	max	убывает	-9 min	возрастает

; ;

. По первому достаточному признаку экстремума в точке х =0 функция имеет максимум, а в точке х =4 – минимум. При этом: , . Таким образом, у =1 и являются экстремумами функции.

Пример 4. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки х =1, т.е. . Найдём производную функции: . Приравняем её нулю и решим уравнение . В точке х =1 производная не существует, а в точках х =0 и х =2 обращается в нуль. Таким образом, критическими точками функции являются . Составим таблицу:

x			(0, 1)		(1, 2)
y	возрастает	max	убывает		убывает	min	возрастает
	+			не сущ.			+

, ,

, .

По первому достаточному признаку экстремума в точке х=0 функция имеет максимум, а в точке х=2 – минимум. При этом максимум функции равен , минимум равен .

При исследовании функции на экстремум иногда более удобно использовать производную второго порядка. Пусть в точке производная функции равна нулю, т.е. , и в этой точке существует производная второго порядка . Тогда имеет место второй достаточный признак (второе достаточное условие) экстремума:

1) если , то в точке функция имеет минимум;

2) если , то в точке функция имеет максимум;

3) если , то для исследования функции на экстремум нужно применять первый достаточный признак.

Пример 5. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. . Найдём производную и критические точки функции: , , , . Найдём производную второго порядка и вычислим её значение в критических точках: и . Таким образом, в точке х = 1 функция имеет максимум, а в точке х =3 – минимум.

При этом , а .