Выпуклость, вогнутость и асимптоты графика функции

Дуга кривой называется выпуклой, если она целиком лежит ниже касательной, проведённой в любой точке дуги. Дуга кривой называется вогнутой, если она целиком лежит выше касательной, проведённой в любой точке дуги. Точка, которая отделяет выпуклую часть дуги от вогнутой, называется точкой перегиба.

Пусть функция и её производные и непрерывны в интервале (a, b). Тогда, если в интервале (a, b), то график функции в этом интервале будет выпуклым. Если же в интервале (a, b), то график функции в этом интервале будет вогнутым.

Точки, в которых производная второго порядка функции равна нулю, называются критическими точками второго рода. Если производная второго порядка при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции. Если же при переходе через эту точку производная второго порядка знак не меняет, то эта точка не является точкой перегиба.

Пример 1. Исследовать на выпуклость и вогнутость график функции .

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Найдём производную второго порядка: , . Решим уравнение и найдём критическую точку второго рода х =1. Разобьём область определения функции этой точкой на два интервала: и . Так как , то в интервале график функции выпуклый. В интервале график функции вогнутый, так как . При переходе через точку х =1 производная второго порядка меняет знак. Следовательно, х =1 является абсциссой точки перегиба. Тогда есть ордината точки перегиба.

Прямая L называется асимптотой графика функции , если расстояние между точками графика и прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если предел функции или хотя бы один из односторонних её пределов в этой точке равен бесконечности, т.е. если , или , или . В этом случае точка является точкой разрыва второго рода данной функции.

Наклонная асимптота графика функции определяется уравнением y = kx + b, где , . Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности или не существует, то график данной функции наклонной асимптоты не имеет. Если же k =0, то и прямая y = b является горизонтальной асимптотой.

Так как асимптоты графика функции при и могут быть разными, то при нахождении k и b иногда следует отдельно рассматривать случаи, когда и .

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция определена в области . Точка х =0 является точкой разрыва функции. Найдём односторонние пределы функции в этой точке: , . Следовательно, прямая х =0 является вертикальной асимптотой. Проверим наличие наклонных асимптот, для чего найдём и . Следовательно, есть наклонная асимптота. Таким образом, данная функция имеет две асимптоты: вертикальную х =0 и наклонную .

При исследовании функции на экстремум целесообразно придерживаться определённой схемы:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции, если они есть, и интервалы непрерывности;

3) определить вертикальные асимптоты, если они есть;

4) найти производную и определить точки, в которых производная равна нулю или не существует, т.е. найти критические точки функции;

5) критические точки расположить по возрастанию и этими точками разбить область определения функции на интервалы монотонности;

6) найти точки экстремума и экстремальные значения функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8) найти наклонные и горизонтальные асимптоты, если они есть;

9) построить график функции.

Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ], то на этом отрезке она достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Эти значения функция может принимать либо во внутренних точках отрезка, либо на его концах.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции следует:

1) найти критические точки функции на отрезке [ a, b ];

2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

3) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример.3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0, 4].

Решение. Найдём производную , приравняем её нулю и найдём критические точки: , , , , . Из найденных точек не принадлежит отрезку [0, 4]. Вычислим значения функции в точках , , : y (0)=0, , . Следовательно, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее – 135.