Графические приемы решения задач с параметрами

Пример 1. Определите количество корней уравнения | x – a | + 2| x + 1| = 3 в зависимости от значений параметра a.

Решение. Перепишем данное уравнение так:

| x – a | = 3 – 2 | x + 1 |.

Рассмотрим функции f (x) = | x – a | и g (x) = 3 – 2 | x + 1 |. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, сколько точек пересечения в зависимости от значения параметра a имеют графики функций f и g.

Рис. 9.18

Ответ: Если a < –4 или a > 2, то корней нет; если a = –4 или a = 2, то один корень; если –4 < a < 2, то 2 корня.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение | 2| x | – 1 | = x – a имеет три корня?

Ответ: a = или a = –1.

Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение (a + 4 x – x ² – 3)(a – 1 – | x – 2 |) = 0 имеет три корня?

Решение. Рассмотрим координатную плоскость xa, то есть координатную плоскость, каждая точка которой имеет координаты вида (x; a), где a — параметр.

На этой координатной плоскости построим график данного уравнения.

Переходим к равносильной совокупности:

Графиком первого уравнения совокупности является парабола, второго — угол. Следовательно, графиком исходного уравнения является объединение этих фигур (рис. 11.5).

Количество точек пересечения с этим графиком горизонтальной прямой a = a ₁ соответствует количеству корней данного уравнения при значении параметра a, равном a ₁.

Из рисунка 11.5 видно, что только прямая a = 1 пересекает график уравнения в трех точках.

Ответ: a = 1.

Пример 4. При каких значениях параметра a модуль разности корней уравнения x ² – 6 x + 12 + a ² – 4 a = 0 принимает наибольшее значение?

Решение. Перепишем данное уравнение так: (x – 3)² + (a – 2)² = 1.

Его графиком в системе координат xa является окружность (рис. 15.12).

Пример 5. При каких значениях параметра a множеством решений неравенства | x – 3 | + | a – 2 | £ 4 является числовой отрезок, длина которого не больше 4?