Экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области и пусть точка . Точка называется точкой максимума функции , если есть наибольшее значение функции в окрестности этой точки. Точка называется точкой минимума функции , если есть наименьшее значение функции в окрестности этой точки. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, а значение функции в точке минимума – минимумом функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю, т.е. и . Это необходимые условия экстремума.

Точка, в которой обе частные производные равны нулю, называется критической точкой функции . Для отыскания критических точек функции нужно найти её частные производные, приравнять их нулю и решить систему двух уравнений с двумя неизвестными: Точки экстремума, если они есть, находятся среди критических точек функции.

Пусть является критической точкой функции . Вычислим частные производные второго порядка в этой точке: , , . Составим выражение и проанализируем его знак:

1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум при A < 0 и минимум при A > 0;

2) если , то функция в точке экстремума не имеет;

3) если , то для определения экстремума нужны дополнительные исследования.

Рассмотренные условия называются достаточными условиями экстремума.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Найдём частные производные , и решим систему уравнений Из второго уравнения 2 y (x +1)=0, y =0, x = 1. Подставим у =0 в первое уравнение: , 2 x (3 x +5)=0, x =0, 3 x +5=0, . Таким образом, найдены две критические точки , . Теперь в первое уравнение подставим x = 1: , , , . Следовательно, стали известны ещё две критические точки , . Найдём частные производные второго порядка: , , .

Проверим достаточные условия для точки :

, ,

, . Следовательно, в точке функция имеет экстремум. Так как A > 0, то это минимум. При этом .

Аналогично установим, что в точке функция имеет максимум, причём . В точках и экстремума нет.