Высказывания. Классификация высказываний.

Высказыванием называется всякое утверждение (повествовательное предложение), про которое всегда определенно и объективно можно сказать, является ли оно истинным или ложным. Например, предложения «Дважды два - четыре», «Студенты гуманитарных специальностей изучают информатику и математику», «3 больше 5», «Число 10 является нечетным», «На улице идет дождь», «Уголовное дело отправлено на доследование» - являются высказываниями. Побудительные предложения («Кругом», «Налево», «Подойдите, пожалуйста, ко мне»), вопросительные («Вы не подскажите, как пройти в библиотеку?»), восклицательные («Да здравствует свобода!») высказываниями не являются.

Повествовательное предложение, содержащее переменную, также не является высказыванием. Например, утверждение " x – положительное число" не будет высказыванием, так как нельзя определить ложно оно или истинно. Если же мы подставим вместо переменной x какое-либо число, то получим высказывание: " 5 – положительное число" (истинное высказывание), " 0 – положительное число" (ложное высказывание).

В рассмотренных выше примерах высказываний два первых являются истинными во всех возможных ситуациях. Такие высказывания называются абсолютно истинными. (Вспомним Ипполита Ипполитовича Рыжицкого, учителя истории и географии из рассказа А.П.Чехова «Учитель словесности»^[1], который всегда говорил то, что всем давно известно: «Волга впадает в Каспийское море», «Лошади кушают овес и сено»). Третье и четвертое высказывания являются абсолютно ложными. Абсолютно истинные и абсолютно ложные высказывания называются логическими константами. Пятое и шестое высказывания будут истинны или ложны в зависимости от конкретной ситуации. В одних случаях они будут истинными, в других – ложными. Поэтому, точнее говорить, что данное высказывание истинно или ложно в определенной фиксированной ситуации. Ситуация может быть определена в самом высказывании («Вечером второго июня 2003 года в городе Ростове–на–Дону осадков не наблюдалось»), а может описываться дополнительно.

Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C и т.д. Например, А – «Волга впадает в Каспийское море», В – «3 больше 5», С – «На улице идет дождь». Подобные обозначения вводятся для упрощения анализа высказывания. В этом случае вместо сложных рассуждений мы получим выражения, традиционно встречающиеся в математике. Будем полагать значение истинного высказывания равным 1, а ложного – равным 0. Тогда, А =1, так как «Волга впадает в Каспийское море» - абсолютно истинное высказывание; В =0 как абсолютно ложное; С может быть равно 1, а может 0 в зависимости от рассмотренной ситуации. В некоторых учебниках по математической логике для обозначения истинности и ложности высказываний используют буквы И и Л, или t и f ^[2].

С помощью союзов «и», «или», «если, то», частицы «не» из нескольких высказываний (повествовательных предложений) можно составить различные новые высказывания. При этом исходные высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми, а сконструированные при помощи логических связок – сложными.

В определенной ситуации истинность или ложность простых высказываний очевидна. Для определения истинности сложных высказываний необходимо не только знать, истинны или ложны простые высказывания, из которых построены сложные, но и проанализировать их структуру. Разрешение вопроса об истинности или ложности сложных высказываний, рассматриваемого на основе изучения способа их построения из элементарных, является основной задачей логики высказываний.

Логика высказываний – раздел логики, изучающий связи между высказываниями, которые определяются тем, как одни высказывания строятся из других. Эту часть логики еще называют алгеброй высказывания или исчислением высказываний.

Рассмотрим два высказывания: «Сегодня будет хорошая погода», «Мы пойдем на прогулку». Из этих простых высказываний можно сконструировать сложные:

· «Сегодня будет хорошая погода, и мы пойдем на прогулку».

· «Мы не пойдем на прогулку».

· «Если сегодня будет хорошая погода, то мы пойдем на прогулку».

· «Мы пойдем на прогулку тогда и только тогда, если сегодня будет хорошая погода».

· «Сегодня будет хорошая погода или мы пойдем на прогулку».

· «Если мы пойдем на прогулку, то сегодня будет хорошая погода».

В последней фразе нарушается нормальная причинно-следственная связь, однако это сложное высказывание с точки зрения логики высказываний ничем не хуже остальных. В ней допускаются любые грамматически правильно составленные высказывания, а их смысловая характеристика не изучается. Важно только то, что получившееся предложение может быть формально либо истинным, либо ложным.