Решение типовых задач

Пример: Имеется следующая оценка совместного вероятностного распределения доходностей от инвестиций в акции компаний А и Б:

Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции двух инвестиций. Определим среднюю доходность акций:

(6.1)

Для акции А: = -10*0, 15+ 5*0, 2 + 10*0, 3+20*0, 35 = 9, 5%

Для акции Б: = 15*0, 15+10*0, 2+5*0, 3 = 5, 75%

Определим дисперсию:

(6.2)

Для акции А: = (-10-9, 5)² *0, 15 + (5-9, 5)² *0, 2 + (10-9, 5)² *0, 3 + (20-9, 5)² *0, 35 = 99, 75%

Для акции Б: = (15-5, 75)² *0, 15 + (10-5, 75)² *0, 2 + (5-5, 75)² *0, 3 + (0-5, 75)² *0, 35 = 28, 19%

Определим стандартное отклонение: (6.3)

Для акции А:

Для акции Б:

Рассчитаем ковариацию:

(6.4)

=(-10-9, 5)*(15-5, 75)*0, 15 + (5-9, 5)*(10-5, 75)*0, 2 + (10-9, 5)*(5-5, 75)*0, 3+ (20-9, 5)*(0-5, 75)*0, 35 = -52, 125%

Определим значение коэффициента корреляции:

Доходности двух инвестиций вижутся в противоположных направлениях.

Пример: Ожидаемая доходность акций А и Б равна соответственно 12 и 25 %. Их среднеквадратическое отклонение равно 5 и 8%. Коэффициент корреляции между доходностями акций равен 0, 6. Рассчитайте ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 40% из акций А и на 60% из акций Б. Определите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций Б.

Сравните полученные результаты.

Определим ожидаемую доходность портфеля, если = 12%, =25%, =0, 4, = 0, 6:

= 12*0, 4 + 25*0, 6 = 19, 8%

Рассчитаем стандартное отклонение портфеля, если = 5%, = 8%, =0, 6:

Определим те же показатели, но при другой структуре портфеля: =0, 6, = 0, 4

= 12*0, 6 + 25*0, 4= 17, 2%

Первый портфель имеет более высокие показатели доходности и риска.

Пример: Инвестор владеет тремя видами акций. Он произвел оценку следующего совместного вероятностного распределения доходностей:

Определите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, если инвестор вкладывает 30% средств в акции А, 50% - в акции В, 20% - в акции С. Предполагается, то доходность каждой ценной бумаги является некоррелированной с доходностью остальных ценных бумаг. Для решения задачи необходимо определить

а) среднюю доходность по акциям А, В, С,

б) дисперсию для этих бумаг,

в) доходность и стандартное отклонение портфеля.

Определим среднюю доходность акций:

Для акции А: =-10*0, 3+10*0, 3+20*0, 2 = 4%

Для акции В: =10*0, 3+8*0, 2+6*0, 3+(-10)*0, 2 = 4, 4%

Для акции С: =10*0, 2+12*0, 3+15*0, 2 = 8, 6%

Определим дисперсию:

Для акции А:

= (-10-4)² *0, 3 + (0-4)² *0, 2 + (10-4)² *0, 3 + (20-4)² *0, 2 = 124%

Для акции В:

= (10-4, 4)² *0, 3 + (8-4, 4)² *0, 2 + (6-4, 4)² *0, 3 + (-10-4, 4)² *0, 2 = 52, 37%

Для акции С:

= (0-8, 6)*0, 3 + (10-8, 6)*0, 2 + (12-8, 6)*0, 3 + (15-8, 6)*0, 2 = 34, 24%

Рассчитаем ожидаемую доходность портфеля при условии, что =0, 3, = 0, 5, = 0, 2

= 4*0, 3 + 4, 4*0, 5 + 8, 6*0, 2 = 5, 12%

Рассчитаем стандартное отклонение портфеля:

Поскольку r_ij = 0, то

.

Следовательно, ожидаемая доходность портфеля составит 5, 12%, а его стандартное отклонение 5, 06%.