Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве Lзадана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число f (x), причем выполнены условия

f (х + y) = f (х) + f (y),

f (λ х) = λ f (х), , .

Билинейные формы. Числовая функция А (х, у): , заданная на действительном линейном пространстве Lназывается билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по x, а при фиксированном x − линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А (x, у) = А (y, x), . Если в пространстве L _n фиксирован некоторый базис B = (e ₁,..., e _n), то матрица A = (a_ij), a_ij = А (e _i, e _j)называется матрицей билинейной формы А (х, у)в базисе B.

Квадратичные формы. Пусть А (х, у) − симметрическая билинейная форма. Форма А (х, х), которая получается из А (х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом А (х, у)называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А (х, x).

Если в действительном линейном пространстве L _n фиксирован некоторый базис B = (e ₁,..., e _n), то квадратичная форма А (х, x)в этом базисе имеет вид

(1)

где A = (a_ij) − матрица квадратичной формы и x = x_i e _i +... + x_n e _n.

Квадратичная форма А (х, x), определенная в действительном линейном пространстве L _n. называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого () выполняется А (х, x) > 0 (А (х, x) < 0).

Пусть A = (a_ij) − матрица квадратичной формы А (х, x) и

, ,

− последовательность главных миноров матрицы A.

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А (х, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. D_k > 0, k = 1, 2,..., n. Форма отрицательно определена, если и только если знаки D_k чередуются, начиная с отрицательного, причем D ₁ < 0.

Задачи:

Доказать, что в пространстве Lфункция f (х), является линейной формой:

4.192. .

4.194. − фиксированный вектор.

Доказать, что в пространстве Lфункция А (x, у)является билинейной формой:

4.199. А (x, у) =f ₁(x) f ₂(y), где f ₁, f ₂ − линейные формы в L.

В сдачах 4.218 − 4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:

4.218. .

4.220. .

4.222. .

4.224. .

Домашнее задание: 4.193, 4.218–4.225 (неч.)

4.193. .

4.207. Доказать, что скалярное произведение (х, у)в евклидовом пространстве Eявляется билинейной формой.

4.219. .

4.221. .

4.223. .

4.225. Доказать, что квадрат длины вектора | x |² в n- мерном евклидовом пространстве E _n является положительно определенной квадратичной формой.

Ответы

4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определенная 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная 4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Положительно определенная.