Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Занятия 7–8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Пусть в некотором базисе выражение для квадратичной формы имеет вид

(2)

Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если λ _i = ±l, 0, i = 1, 2,..., n, то получаем нормальный вид квадратичной формы А (x, x).

Для всякой квадратичной формы существует такой базис B', в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А (x, x)в базисе B имеет вид (1, занятие 6). Если все коэффициенты а_ij (при квадратах ), i = l, 2,..., п равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2 а ₁₂ х ₁ х ₂. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами

Тогда , и так как, по пред­положению, а ₁₁ = а ₂₂ = 0, то коэффициент при отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис B, в котором в записи (1, занятие 6) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля. В дальнейшем считаем, что . (Если , то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы e ₁,..., e _n, что также является некоторым преобразованием базиса.)

Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую х ₁, т. е.

дополним эту сумму до полного квадрата:

где γ есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от x ₁. Если теперь сделать замену

то квадратичная форма в новом базисе примет вид

В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся часть A ₁является квадратичной формой в L _{n − 1}. Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы А ₁(х, x)и т.д.

Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

1-е преобразование: x ₁ = x' ₂, x ₂ = x' ₁, х ₃ = х' ₃. Тогда получим

2-е преобразование: x'' ₁ = − x' ₁ + x '₂, x'' ₂ = x' ₂, х'' ₃ = х' ₃. Получим новое выражение для квадратичной формы:

3-е преобразование: x''' ₁ = x'' ₁, x''' ₂ = x'' ₂ + 2 x ''₃, х''' ₃ = х'' ₃, и форма принимает канонический вид:

При этом x''' ₁ = x ₁ − x ₂, x''' ₂ = x ₁ + 2 x ₃, х''' ₃ = х ₃.

Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1, занятие 6) в евклидовом пространстве R ⁿ. Так как ее матрица А = (а_ij)симметрична, то она может быть представкой в виде A = UDU^T, где D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы A, a U − ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса B = (e ₁,..., e _n), в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма − искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве R ³, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

Матрица квадратичной формы имеет вид:

Собственные числа этой матрицы суть λ ₁ = 3, λ ₂ = 6, λ ₃ = 9. Соответствующие ортонормированные собственные векторы:

e '₁ = (2/3, 2/3, − 1/3), e '₂ = (− 1/3, 2/3, 2/3), e '₃ = (2/3, − 1/3, 2/3),

и следовательно,

В базисе B' = (e '₁, e '₂, e '₃) заданная квадратичная форма имеет вид , а соответствующее преобразование ко­ординат: , ,

Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве R ⁿ называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(3)

где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных x ₁, x ₂,..., x_n.

Множество точек плоскости R ², удовлетворяющих уравнению (3), называется кривой второго порядка. Каноническое уравнение может принимать один из следующих видов (в переменных x, у):

1) ; 2) ; 3)

Задачи:

Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:

4.210. .

4.211. .

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. .

4.215. .

В задачах 4.226− 4.231 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.

4.226. .

4.228. .

4.231. .

Домашнее задание: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230

4.212. .

4.214. .

4.216. .

4.227. .

4.229. . 4.230. .

Ответы