Теплопроводность плоских стенок. Граничные условия 1го рода.

Виды передачи теплоты. Температурное поле. Градиент температуры. Тепловой поток.

Температурное поле.

Градиент температуры.

Тепловой поток.

Дифферинциальное уравнение теплопроводности.

Граничные условия.

Теплопроводность плоских стенок. Граничные условия 1го рода.

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки

постоянен и равен λ. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v =0)

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

(9.16)

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

(9.17)

Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

После второго интегрирования получаем

(9.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; при x=δ t=t_c2=С₁·δ +t_c1,

отсюда . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки:

(9.19)

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

(9.20)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

(9.21)

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ _с, взятый при средней температуре стенки.