Определители и матрицы

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Краткий конспект лекций по линейной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Краткий конспект лекций по линейной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.

Лекция 1

Определители и матрицы

Контрольные вопросы:

1. Определители. Правила вычисления определителей.

2. Свойства определителей п -го порядка.

3. Матрицы. Виды матриц.

4. Действия с матрицами.

5. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Определителем (или детерминантом) n -го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n -го порядка:

.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца и умноженный на .

Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определитель n -го порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам i -й строки (или j -го столбца):

(разложение определителя по элементам i -й строки),

(разложение определителя по элементам j -го столбца).

Определителем второго порядка называется число, равное

.

Определителем третьего порядка называется число, равное

.

2. Свойства определителей п-го порядка:

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

2⁰. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3⁰. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4⁰. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

5⁰. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6⁰. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

7⁰. Если каждый элемент п -го столбца (п -й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п -м столбце (п -й строке) имеет первые из названных слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

3. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

.

Матрица размера называется квадратной матрицей n -го порядка. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается или det A.

Матрица Е с элементами называется единичной матрицей n -го порядка.

Матрица называется обратной к матрице (), если

(1)

Элементы обратной матрицы вычисляются по формулам

(2)

где - алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы.

4. Действия с матрицами.

1. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, причем , , .

2. Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица А, причем .

3.Произведением матриц А и В (размеров и соответственно) называется матрица С размера , такая, что

(3)

(поэлементное умножение i -й строки матрицы А на k -й столбец матрицы В).

4. Транспонированной к матрице называется матрица такая, что , , .

Матрица называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Например,

.

Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований:

1) перестановки столбцов (строк);

2) умножения элементов столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, получаемые в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~ .

5. Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1. Найти какой-нибудь минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг r(A) = 0.

2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁), до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д.

…

k. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть хотя бы один минор , то и процесс вычисления продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его необходимо только среди миноров, содержащих минор

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение.

Приведем матрицу А к каноническому виду путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А ~ .

Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:

А ~ ~ .

Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

А ~ ~ .

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

.