Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения

Контрольные вопросы:

1. Определение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Метод Крамера.

3. Метод Гаусса.

4. Метод обратной матрицы.

1. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

(4)

где - коэффициенты системы, - свободные члены . Определитель третьего порядка Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

2. Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы (4) выражается формулами Крамера:

, (5)

где - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы Δ заменой первого, второго или третьего столбца соответственно столбцом свободных членов .

Систему (4) можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда ее решение имеет вид

, (6)

если определитель матрицы А отличен от нуля.

3. Одним из наиболее универсальных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному) виду.

Для исходной системы т алгебраических уравнений п неизвестными

система в ступенчатом виде может быть представлена следующим образом:

где , , . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) происходит последовательное нахождение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы (4). Будем считать, что элемент (иначе первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при ). Используя элементарные преобразования системы (4), исключим неизвестное во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно ко второму уравнению системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно к третьему уравнению системы. Получим эквивалентную систему

Здесь , () – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное из третьего уравнения системы. На этом шаге выполнение прямого хода заканчивается.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. В последнем уравнении выражаем и подставляем во второе уравнение найденное значение. Из второго уравнения находим и подставляем значения и в первое уравнение, из которого находим значение .

Замечание. На практике удобно работать не с системой (4), а с расширенной матрицей этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

4. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы

для нахождения решения системы.

Замечание. Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.

r < n, (7)

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n-r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(8)