Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Указания о порядке выполнения РГР (контрольной
|
|
работы) и ее содержание
Приступая к выполнению РГР (контрольной работы), необходимо внимательно изучить рекомендованную литературу и материалы лекций по курсу «Статистика».
Контрольные задания составлены в шести вариантах, каждый из которых содержит 7 задач по основным темам курса.
Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре в зачетной книжке студента (таблица 2.1):
Таблица 2.1
| Последняя цифра в зачетной книжке | № варианта |
| 1, 7 | |
| 2, 8 | |
| 3, 9 | |
| 4, 0 | |
Задача 1 составлена на тему «Группировка статистических данных».
Единицы статистической совокупности отличаются друг от друга как качественными, так и количественными признаками. В связи с этим отдельные единицы совокупности, сходные по своему виду, размеру, отношению к другим частям совокупности и т.д., необходимо объединить в обособленные группы. Разбиение совокупности на однородные виды, классы выполняют в ходе группировки.
Группировкой называется расчленение единиц статистической совокупности на группы, однородные по какому-либо одному или нескольким признакам. Группировка позволяет систематизировать данные статистического наблюдения. В результате группировки они превращаются в упорядоченную статистическую информацию, пригодную для дальнейшего статистического анализа. Признаки, на основе которых получена группировка, называются группировочными.
Анализируя экономическую и социальную жизнь общества, выделяют и изучают отдельные типы явлений. Такого рода группировки называются типологическими. Примером типологических группировок служит деление населения на такие группы, как молодежь, лица среднего возраста и др.
Структурная группировка – это группировка, в которой происходит разбиение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьирующему признаку. Например, группировка рабочих по квалификации.
Для исследования зависимости между явлениями используют аналитические группировки. При их построении можно установить взаимосвязь между двумя признаками и более. При этом один признак будет результативным, а другой (другие) — факторным. Факторными называются признаки, под воздействием которых изменяются результативные признаки.
Для того чтобы установить взаимосвязь между признаками, данные следует сгруппировать по признаку-фактору и затем вычислить среднее значение результативного признака в каждой группе. Сопоставляя изменения значений факторного и результативного признаков, определяют характер связи между ними. Если с увеличением значения факторного признака возрастает и значение результативного признака, то между ними существует прямая связь. Изменение их значений в противоположных направлениях свидетельствует об обратной связи между признаками.
При группировке данных возникает вопрос о том, на сколько групп будет разбита изучаемая совокупность. На этот вопрос нет стандартного, однозначного ответа. Если распределение признака в границах его вариации достаточно равномерно или близко к нормальному, диапазон колебаний признака разбивают на равные интервалы, длину которых определяют по формуле
где 
- максимальное значение признака в совокупности;
- минимальное значение признака в совокупности;
- число групп.
Число групп может быть задано (на основе опыта предыдущих обследований). В том случае, если вопрос о числе групп приходится решать самостоятельно, можно использовать формулу Стерджесса для определения оптимального числа групп:
k=1 + 3, 322 lg N,
где N — число единиц в совокупности.
Полученное значение следует округлить для облегчения расчетов. Процедуру округления при расчете интервала проводят всегда. Трехзначное, четырехзначное или большее число округляют до ближайшего числа, кратного 50 или 100. Если число имеет два знака до запятой и несколько знаков после запятой, его округляют до целого, если один знак до запятой и несколько знаков после запятой — до десятых и т.д.
Часто значения варьирующего признака распределены таким образом, что при использовании равного интервала для образования групп излишне увеличивается их количество, при этом многие группы будут малочисленными. В этих условиях совокупность разбивают на группы с неравными интервалами. Различия в длине интервала могут быть обусловлены не только характером изменения варьирующего признака, но и особенностями изучаемых экономических и социальных явлений. Закрытыми называются интервалы, у которых указаны обе границы, открытыми - интервалы с одной границей (верхней у первого интервала и нижней у последнего интервала).
Для расчета показателей статистической совокупности необходимо «закрыть» открытые интервалы. Для этой цели используют интервал, соседний с открытым.
Задача 2 составлена на тему «Средние величины».
Средняя величина — это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.
Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.
В статистике используются различные виды (формы) средних величин. Наиболее часто применяются следующие средние величины:
• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая.
Указанные средние величины относятся к классу степенных средних. Они могут быть вычислены, либо когда каждый вариант (
) в данной совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой (
) или статистическим весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной..
Введем условное обозначение 
и рассмотрим формулы расчета степенных средних (таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Виды средних и формулы их расчета
| Вид средней | Формула расчета | Вид средней | Формула расчета |
| Арифметическая простая | 
| Геометрическая простая | 
|
| Арифметическая взвешенная | 
| Геометрическая взвешенная | 
|
| Гармоническая простая | 
| Квадратическая простая | 
|
| Гармоническая взвешенная | 
| Квадратическая взвешенная | 
|
Выбор вида средней базируется на исходном соотношении средней (логической формуле). Это соотношение представляет собой отношение 2-х экономических категорий, которые приводят к исходному искомый средний показатель. Для каждого среднего показателя можно составить только одно исходное соотношение, независимо от формы представления исходных данных:
1 Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить осредняемую величину, и при этом известны численные значения знаменателя логической формулы, а числитель неизвестен, но может быть найден как произведение этих показателей, среднюю вычисляют по формуле арифметической взвешенной.
2 Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя рассчитывается по формуле гармонической взвешенной.
3 Если имеются численные значения числителя и знаменателя логической формулы, то средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.
В статистике кроме степенных средних находят применение и структурные средние – мода, медиана, квартили, децили, перцентили..
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где 
- начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле
где 
— начальное значение интервала, содержащего медиану;
— величина медианного интервала;
— сумма частот ряда;
— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
— частота медианного интервала.
Задача 3 составлена на тему «Анализ вариационных рядов».
Вариацией признака называется наличие различий в численных его значениях у отдельных единиц совокупности.
Чтобы выявить характер распределения единиц совокупности по варьирующим признакам, определить закономерности в этом распределении, строят ряды распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему признаку.
Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными.
Посвоей конструкции вариационный ряд состоит из двух столбцов (граф): один столбец — значения варьирующего признака (х - варианты), другой - частоты (т - абсолютное число случаев данного варианта) или частости (w — относительная доля каждой частоты в общей сумме частот). Дискретный ряд распределения можно рассматривать как такое преобразование ранжированного (упорядоченного) ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота. Примером дискретного ряда может служить распределение домашних хозяйств по числу их членов.
Если число вариантов велико или признак имеет непрерывную вариацию, то объединение отдельных наблюдений в группы возможно лишь на базе интервала, т.е. такой группы, которая имеет определенные пределы значений варьирующего признака. При использовании интервалов образуются интервальные ряды распределения. Середину (центр) каждого интервала находят как полусумму нижнего и верхнего значений интервала
Графически вариационный ряд можно изобразить, как и любой ряд значений аргумента и функции, используя прямоугольную систему координат и строя точки с координатами 
. Если затем последовательно соединить полученные точки отрезками прямой, а из первой и последней точки опустить перпендикуляры на ось Х, получим замкнутую фигуру в виде многоугольника, которая называется полигоном и графически представляет распределение совокупности по признаку х.
Полигон чаще используется для дискретных вариационных рядов. На рисунке 2.1 представлен полигон распределения домашних хозяйств по числу их членов.
Интервальный вариационный ряд изображают в виде гистограммы. Для интервального ряда с равными интервалами на оси Хоткладывают отрезки, равные длине интервала.
Рисунок2.1 - Полигон распределения
На этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частоте или частости. Для интервального ряда с неравными интервалами на оси ординат откладывают плотности распределения, так как в этом случае именно плотность дает представление о заполненности каждого интервала (рисунок 2.2):
Рисунок2.2 - Гистограмма распределения
Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот, или численности единиц в совокупности (если на оси ординат отложить частоты).
Любой вариационный ряд можно представить графически в виде кривой накопленных частот (или частостей). При этом на оси х откладывают варианты или верхние границы интервалов, а на оси у - соответствующие накопленные частоты (или частости). Полученные точки соединяют для непрерывного признака плавной кривой, которая называется кумулятивной кривой, или кумулятой. Если значения х (варианты) откладывать на оси у, а накопленные частоты (или частости) на оси х, то построенная на них кумулятивная кривая называется огивой.
Самая грубая оценка рассеяния, легко определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации. Размах вариации - это разность между наибольшим (
) и наименьшим (
) значениями вариантов.
Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся:
• среднее линейное отклонение;
• дисперсия;
• среднее квадратическое отклонение;
• коэффициент вариации.
Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины:
(простое); 
(взвешенное).
Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.
Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, используют либо абсолютные значения отклонений, либо их четные степени, например квадраты. В последнем случае мера вариации называется дисперсией и обозначается S2, D или 
:
(простая); 
(взвешенная).
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S или 
:
(простое); 
(взвешенное).
Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.
Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).
Для оценки меры вариации и ее значимости пользуются также коэффициентом вариации V, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего линейного (линейный коэффициент вариации) или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, а результат выражается в процентах:
; 
.
Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 33 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.
При изучении асимметрии распределения вариационного ряда рассчитывают коэффициент асимметрии:
или 
.
Если коэффициент асимметрии больше нуля, то в распределении наблюдается правосторонняя асимметрия, если меньше нуля – левосторонняя.
Задача 4 составлена по теме «Анализ рядов динамики».
Ряд динамики – это ряд последовательно расположенных статистических показателей (в хронологическом порядке), изменение которых показывает ход развития изучаемого явления.
Ряд динамики состоит из двух элементов: момента (периода) времени и соответствующего ему статистического показателя, который называется уровнем ряда. Уровень ряда характеризует размер явления по состоянию на указанный в нем момент (период) времени. В связи со сказанным различают моментные и интервальные ряды динамики.
Абсолютное изменение характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определённый промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.
Абсолютный прирост (цепной):
Абсолютный прирост (базисный):
,
где 
- уровень сравниваемого периода;
- уровень предшествующего периода;
- уровень базисного периода.
Для характеристики интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой либо период времени исчисляют темпы роста (снижения). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчётного уровня к базисному. Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели интенсивности изменения отличаются только единицами измерения.
Коэффициент роста:
цепной - 
; базисный - 
.
Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.
Относительную оценку скорости изменения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).
.
Темп роста:
цепной - 
; базисный - 
.
Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах и долях единицы (коэффициенты прироста):
Темп прироста:
цепной - 
; базисный -. 
.
Темп прироста (сокращения) можно получить и из темпа роста, выраженного в процентах, если из него вычесть 100 %. Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:
 |
 |
Между цепными и базисными показателями динамики существует взаимосвязь. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой:
Произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста конечному:
Частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста:
.
Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, рассмотрим его в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.
 |
В результате получим абсолютное значение (содержание) одного процента прироста и рассчитаем как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени, %:
Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определим средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.
 |
Средний уровень ряда находим по формуле средней арифметической простой:
где 
- абсолютные уровни ряда;
- число уровней ряда.
Средний абсолютный прирост может быть рассчитан базисным и цепным способами:
базисный:
,
где n – число уровней ряда.
цепной:
,
где n – число цепных абсолютных приростов.
 |
Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний коэффициент (темп) роста (снижения), показывающий во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.
Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100 %. Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:
 |
Если уровни ряда динамики растут, то средний темп роста будет больше 100%, а средний темп прироста положительной величиной. Отрицательный темп прироста представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.
Одним из способов определения тенденции в ряду динамики является метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:
— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями
; 
; 
;
......... 
.
В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней 
. Между расположением уровней 
и 
устанавливается соответствие:
— — 
— —,
сглаженный ряд короче исходного на число уровней 
, где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.
Сглаживание методом скользящих средних можно производить по трем, четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.
Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.
При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, 
относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни 
и 
. Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:
... — исходные уровни;
— — 
... — сглаженные уровни;
— — 
... — центрированные сглаженные уровни;
; 
.
Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики 
заменяются теоретическими или расчетными 
, которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.
Например:
,
где 
- коэффициенты, определяемые в методе аналитического
выравнивания;
- моменты времени, для которых были получены исходные и
соответствующие теоретические уровни ряда динамики,
образующие прямую, определяемую коэффициентами 
.
Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:
Если вместо 
подставить 
(или соответствующее выражение для других математических функций), получим:
Это функция двух переменных 
(все 
и 
известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .
Для прямой:
; 
где n — число моментов времени, для которых были получены исходные
уровни ряда .
Если вместо абсолютного времени 
выбрать условное время таким образом, чтобы 
, то записанные выражения для определения упрощаются:
; 
.
Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. Изменения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.
1 Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.
Индекс сезонности:
,
где 
— средний уровень ряда, полученный в результате осреднения
уровней ряда за одноимённые периоды времени (например, средний
уровень января за все годы наблюдения);
— общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.
Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко выраженной тенденции может производиться, например, при помощи метода укрупнения интервалов.
2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.
Индекс сезонности:
,
где — исходные уровни ряда;
— уровни ряда, полученные в результате определения скользящих
средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни;
i — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс
сезонности;
n — число лет наблюдения за процессом.
В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо 
— уровней, полученных методом скользящих средних, используются — полученные методом аналитического выравнивания.
Задача 5 составлена по теме «Экономические индексы».
Статистический индекс — это относительная величина, характеризующая соотношение значений определенного показателя во времени, пространстве, а также сравнение фактических данных с планом или иным нормативом.
Индивидуальные индексы характеризуют относительное изменение отдельного единичного элемента сложной совокупности (например, изменение цены на хлеб, молоко, изменение объема добычи нефти и газа и т.д.).
Общие (агрегатные) индексы характеризуют относительное изменение индексируемой величины (показателя) в целом по сложной совокупности, отдельные элементы которой несоизмеримы в физических единицах (таблица 2.3).
Таблица 2.3 – Виды агрегатных индексов и формулы их расчета
| Индекс | Формула расчета | Индекс | Формула расчета |
| Стоимости (товарооборота, выручки) |  = 
| Цен (Г. Пааше) |  = 
|
| Физического объема продукции |  = 
| Цен (Э. Ласпейреса) |  = 
|
| Заработной платы |  = 
| Цен (И. Фишера) |  = 
|
| Фонда оплаты труда |  = 
| Себестоимости |  = 
|
Разница между числителем и знаменателем индекса стоимости реализации (товарооборота) отражает абсолютное изменение товарооборота за счет динамики двух показателей – цены и физического объема продукции.
Разница между числителем и знаменателем индекса цен означает абсолютный прирост товарооборота (выручки от продаж) в результате среднего изменения цен или экономию (перерасход) денежных средств населения в результате среднего снижения (повышения) цен.
Разница между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции отражает изменение товарооборота под влиянием динамики физического объема реализованной продукции.
Взаимосвязь индексов:
= 
; = 
.
Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчётного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода.
Так, индивидуальный индекс цен равен:
,
откуда:
.
Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний арифметический имеет вид:
= = 
Аналогично индекс себестоимости равен 
, откуда 
, следовательно:
= = 
.
Аналогично индекс физического объёма продукции (товарооборота) равен 
, откуда 
, следовательно:
= = 
.
При изучении качественных показателей приходится рассматривать изменение во времени или в пространстве средней величины индексируемого показателя для определенной однородной совокупности. Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов («структуры» объекта).
Индекс переменного состава отражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) за счет изменения индексируемой величины х у отдельных элементов (частей) целого) и за счет изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные значения х.
.
Абсолютное изменение индексируемой величины за счет двух факторов:
.
Индекс фиксированного состава отражает динамику среднего показателя за счет изменения индексируемой величины х, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчетного периода:
; 
.
Динамику среднего показателя за счет изменения весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода отражает индекс структурных сдвигов:
; 
.
Взаимосвязь индексов и абсолютных изменений средней величины индексируемого показателя:
; 
.
Задачи 6, 7 составлены по теме «Статистическое изучение взаимосвязей».
Исследуя социально-экономические явления, статистика сталкивается с зависимостями как между количественными, так и между качественными показателями. Ее задача – выявить такие зависимости и дать им количественную характеристику. Если взаимодействует множество факторов, в том числе и случайных, выявить зависимости, рассматривая единичный случай, невозможно. Такие связи можно обнаружить только при массовом наблюдении как статистические закономерности. Выявленная таким образом связь именуется стохастической или статистической, частным случаем которой является корреляционная зависимость.
Корреляционной называется связь, проявляющаяся при большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.
Измерить корреляционную связь между признаками и найти форму этой связи, ее аналитическое выражение (математическую модель) – задачи корреляционно-регрессионного анализа.
Для определения тесноты корреляционной связи применяется коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции изменяется от минус единицы до плюс единицы и показывает тесноту и направление корреляционной связи.
Если отклонения по 
и по 
от среднего совпадают и по знаку, и по величине, то это полная прямая связь, то 
=+1.
Если полная обратная связь, то =-1.
Если связь отсутствует, то =0.
Наиболее удобной формулой для расчета коэффициента корреляции является:
Найти уравнение регрессии – значит по эмпирическим (фактическим) данным математически описать изменения взаимно коррелируемых величин.
Линейная зависимость – наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками. Она выражается при парной корреляции уравнением прямой:
Параметры уравнения связи определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):
Параметры уравнения парной линейной регрессии удобно исчислять по следующим формулам:
Для удобства интерпретации параметра а1 используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1 % и вычисляется по формуле:
.
Наряду с линейным коэффициентом корреляции для измерения тесноты связи между коррелируемыми признаками используют менее точные, но более простые по расчету непараметрические показатели, к числу которых относятся коэффициент Фехнера, коэффициенты корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.
Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:
,
где 
- квадраты разности рангов;
n – число наблюдений (число пар рангов).
Порядок расчета:
1) ранжируем значения признака 
по возрастанию, каждому значению признака присваиваем порядковый номер – ранг;
2) ранжируем значения признака 
по возрастанию, каждому значению признака присваиваем ранг;
3) возвращаемся к исходному ряду значений признака и ставим его порядковый номер, аналогичную процедуру проводим для признака ;
4) находим разность рангов 
;
5) определяем величину и находим коэффициент Спирмена.
Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от минус 1 до 1.
Для расчета коэффициента Кендэла необходимо значения рангов 
расположить в порядке возрастания. В сооттветствии с этим порядком располагаются ранги 
. Затем рассчитываются величины Р и Т.
Если для каждого ранга определить число следующих за ним рангов, превышающих его величину, то сумму таких превышений обозначим через Р.
Если для каждого ранга определить число предшествующих ему значений рангов, превышающих его величину, то сумму таких превышений обозначим Т. Далее определяем величину S = Р - Т.
Коэффициента Кендэла рассчитывается по формуле:
,
где n - число наблюдений.
Коэффициенты ассоциации и контингенции – показатели оценки тесноты связи между двумя альтернативными признаками.
Коэффициенты определяются по формулам:
ассоциации 
,
контингенции 
,
где a, b, c, d – число единиц одновременного появления альтернативных
признаков.
Коэффициенты изменяются от минус 1 до 1. Близость коэффициентов к единице свидетельствует о тесной положительной связи. Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции имеет вид (таблица 2.4):
Таблица 2.4 – Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов ассоциации и контингенции
| а | b | а+b |
| с | d | c+d |
| а+с | b+d | а+b+c+d |
Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденный, если Ка ³ 0, 5 или Кк ³ 0, 3.