Дополнение. Вывод формулы 12.

Из (10) и (11) находим:

. (1д)

Найдём частные производные

, (2д)

, (3д)

.(4д)

Из (6) следует, что , так как не зависит от времени. Подставляя (2д) и (4д) в (6), получим

.

Сгруппируем члены этого уравнения по функциям sin и cos:

Так как функции sin и cos линейно независимы, то коэффициенты при них в этом уравнении должны быть равны нулю:

, (5д)

. (6д)

Интегрируя (6д), получаем (здесь частную производную можно заменить на полную производную)

, . (7д)

Постоянную интегрирования С находим из начальных условий. В начале координат при х = 0 амплитуда колебаний температуры стержня равна , . Из второй формулы (7д) находим: . Тогда

. (8д)

Из (8д) находим

. (9д)

Подставляя (9д) в (5д), находим: . Отсюда находим скорость распространения температурной волны

. (10д)

Подставим (10д) в (8д):

. (11д)

Подставляя (10д) и (11д) в (11), получим (12).