Краткие теоретические сведения. Анализ работы цифровых устройств и синтез логических цепей произ­водится на основе математического аппарата алгебры логики или «булевой» алгебры

Анализ работы цифровых устройств и синтез логических цепей произ­водится на основе математического аппарата алгебры логики или «булевой» алгебры, оперирующей только двумя понятиями: истинным (логическая «1») и ложным (логический «0»). Функции, отображающие такую информацию, а также устройства, формирующие функции алгебры логики, называются логическими. Логические функции нескольких переменных определяют характер логических операций, в результате которых набору входных переменных x₀, x₁, …, x_n-1 ставится в соответствие выходная переменная F

F = f (x₀, x₁, …, x_n-1).

Функция преобразования характеризуется таблицей, в которой каждой комбинации входных переменных соответствует значение выходной переменной F. Ее называют таблицей истинности.

Основными функциями алгебры логики, с помощью которых можно осуществлять любые логические преобразования, являются логические умножение (конъюнкция), сложение (дизъюнкция) и отрицание (инверсия).

Алгебра логики позволяет преобразовывать формулы, описывающие сложные логические зависимости, с целью их упрощения. Это помогает в конечном итоге определять оптимальную структуру того или иного цифрового автомата, реализующего любую сложную функцию. Под оптимальной структурой принято понимать такое построение автомата, при котором число входящих в его состав элементов минимально.

Основные законы алгебры логики.

Переместительный закон:

a + b = b + а; ab = ba.

Сочетательный закон:

(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).

Распределительный закон:

a(b + c) = ab + ac; a + bc = (a + b)(a +c).

Закон поглощения:

a + ab = a(1 + b) = a; a(a + b) = a + ab = a.

Закон склеивания:

ab + a = a; (a + b)(a + ) = a.

Закон отрицания:

или .

Логические элементы. Логические элементы используют в качестве значений входных и выходных напряжений лишь два уровня: «высокий» и «низкий». Если логическому «0» соответствует напряжение низкого уровня, а логической «1» – высокого, то такую логику называют положительной, и наоборот, если за логический «0» принимают напряжение высокого уровня, а за логическую «1» – напряжение низкого уровня, то такую логику называют отрицательной. В транзисторно-транзисторной логике (ТТЛ) напряжение логического «0» – U⁰ со­став­ляет десятые доли вольт (менее 0, 4 В), а напряжение логической «1» – U¹ > 2, 4 В. Логические элементы реализуют простейшие функции или систему функций алгебры логики.

	Таблица 5.1

Простейшей функцией алгебры логики является функция НЕ. Она реализуется с помощью инвертора, условное графическое обозначение которого приведено на рис. 5.1. На вход инвертора подается величина X, которая может принимать два значения: «0» и «1». Выходная величина Y, при этом тоже принимает два значения: «1» и «0». Взаимно однозначное соответствие X и Y дается таблицей истинности (табл. 5.1), причем значение выходной величины Y зависит не от предыдущих значений, а лишь от текущего значения входной величины X: Y = .

Это справедли­во для всех логических элементов, не имеющих памяти, у кото­рых в таблице истинности значение Y не зависит от порядка строк.

		Таблица 5.2

Логическими элементами, реализующими функции логиче­ского сложения и логического умножения, являются элементы ИЛИ и И. Таблицы истинности для этих элементов однозначно связывают значение выходной величины Y со значениями двух (или более) входных величин х_l, х₂,... x_n. Условные графические обозначения логических эле­ментов ИЛИ и И приведены соответственно на рис. 5.2 и 5.3, а их таблицы истинности - в таблицах 5.2 и 5.3. Например, для логи­ческого элемента 2-ИЛИ, реализую­щего дизъюнкцию

Y = х_l + х₂ или Y = х_l Ú х₂,

а для элемента 2-И, реали­-
зую­щего конъюнкцию

Y = х_l × х₂ или Y = х_l Ù х₂.

		Таблица 5.3

На наборе логиче­ских элементов И, ИЛИ, НЕ можно реализовать любую сколь угодно сложную логи­ческую функцию, поэ­тому данный набор элемен­тов на­зывают функциональ­но пол­ным.

На практике часто используется расширенный набор логических элементов, позволяющих также составлять функционально полные системы. К ним относятся элементы:

ИЛИ-НЕ (элемент Пирса), реализующий функцию ;

И-НЕ (элемент Шеффера), реализующий функцию .

Их обозначения и таблицы истинности приведены на рис. 5.4 и в таблице 5.4.

			Таблица 5.4

Рис. 5.4

В частности функционально полные системы могут состоять из эле­мен­тов только одного типа, например, реализующих функцию И-НЕ либо ИЛИ-НЕ.

Комбинационные логические цепи – это такие цепи, выходные сигналы которых однозначно определяются сигналами, присутствующими на их входах в рассматриваемый момент времени и не зависят от предыдущего состояния.

Набор логических элементов, входящих в состав учебного стенда по основам цифровой техники не содержит элементов, реализующих функцию ИЛИ-НЕ, что ограничивает число вариантов построения логических схем при их синтезе и позволяет составлять схемы только в базисе элементов И-НЕ.

Прежде чем перейти к вопросам анализа и синтеза логических устройств в заданном базисе элементов (И-НЕ), необходимо составить таблицу, в которую будут сведены все возможные формы представления выходных сигналов указанных элементов при условии, что на их входы поданы логические переменные х_l и х₂. При синтезе схем можно использовать два технических приема: двойное инвертирование входного исходного выражения или его части и применение теорем Де-Моргана. При этом функция преобразуется к виду, содержащему только операции логического умножения и инверсии, и переписывается через условные обозначения операции И-НЕ и НЕ.

Последовательность проведения анализа и синтеза комбинационных логических цепей:

1. Составление таблицы функционирования логической цепи (таблицы истинности).

2. Запись логической функции.

3. Минимизация логической функции и преобразование ее к виду, удобному для реализации в заданном базисе логических элементов (И-НЕ, НЕ).

Пример проведения анализа и синтеза логических цепей [1].

Пусть необходимо построить мажоритарную ячейку (ячейку голосования) на три входа, т.е. такую ячейку, у которой сигнал на выходе равен единице тогда, когда на двух или трех входах цепи присутствует сигнал единицы, в противном случае выходной сигнал должен быть равен нулю.

Вначале заполним таблицу истинности (табл. 5.5). Поскольку в данном случае имеются три входных сигнала х₁, х₂, х₃, каждый из которых может принимать одно из двух возможных значений (0 или 1), то всего может быть восемь различных комбинаций этих сигналов. Четырем из этих комбинаций будет соответствовать выходной сигнал F, равный единице. Таблица 5.5

Пользуясь данными табл. 5.5, можно запи­сать логическую функцию, кото­рую должна реализовать синтезируемая цепь. Для этого нужно представить функцию в виде суммы логических произведений, соответ­ствующих тем строкам табл. 5.5 (3, 5-7), для которых функция F равна единице. Аргументы записываются без инверсии, если они равны единице и с инверсией, если равны нулю.

Если в синтезируемой таблице истинности выходная величина чаще принимает значение «1», то синтезируются строки, в которых выходная величина равна «0».

При выполнении заданной процедуры получим функцию

F= . (5.1)

Для минимизации (упрощения) данной функции нужно применить основные законы алгебры логики. Возможна следующая последовательность преобразований, например, с применением закона склеивания (теоремы Де-Моргана):

F = =

+ = . (5.2)

Как видно, полученное конечное выражение гораздо проще исходного.

Аналогично проводится анализ (составление таблиц истин­ности) и более сложных логических схем.

Для выполнения задания предлагается набор наиболее распространенных логических элементов (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Набор логических элементов для выполнения задания