Теоретические основы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Оборотный маятник используется для точного определения ускорения свободного падения. В основе этого метода определения ускорения свободного падения лежит теорема Гюйгенса: если физический маятник подвесить за центр качания О₁, то его период не изменится, а прежняя точка подвеса О сделается новым центром качания [2, с.211] (рис.1). Оборотный маятник позволяет с точностью до 0, 5% определить положение точки подвеса и центра качания. Расстояние между этими точками называется приведенной длиной физического маятника (оборотный маятник это частный случая физического маятника). Так как период колебаний физического маятника равен периоду колебаний математического маятника, если его приведенная длина равна длине математического маятника, то для определения ускорения свободного падения можно воспользоваться формулой математического маятника:

, (1)

здесь Т – период колебаний физического маятника, l₀ – его приведенная длина, g – ускорение свободного падения. Таким образом, определение ускорения свободного падения сводится к определению периода колебаний физического маятника и его приведенной длины.

Получим выражение (1), зная основной закон динамики вращения твердого тела относительно неподвижной оси вращения О:

I₀ ε ₀=M₀, (2)

здесь I₀ – момент инерции твердого тела относительно данной оси О, ε ₀ – угловое ускорение относительно той же оси вращения, M₀ – результирующий момент внешних сил относительно осиО. Все кинематические и динамические характеристики вращения твердого тела относительно неподвижной оси выбираются с надлежащим знаком [2, c.173]. Условимся величины, определяющие повороты по часовой стрелке выбирать со знаком «-», против часовой стрелки со знаком «+».

Физическим маятником называют любое твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения О, не совпадающую с центром масс тела (рис. 1). При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает возвращающий момент силы тяжести относительно этой оси

, (3)

где m — масса тела, l — расстояние между осью вращения О и центром масс С («-» свидетельствует о том, что φ и N имеют противоположные знаки). В этом случае уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно оси запишется в виде:

, (4)

где I — момент инерции тела относительно оси вращения, — угловое ускорение. При малых углах отклонения , тогда

. (5)

Сравнивая полученное уравнение с известным общим уравнением гармонических колебаний

, (6)

приходим к выводу, что физический маятник совершает свободные гармонические колебания с частотой и периодом соответственно

и . (7)

По теореме Штейнера I = I_c +ml² , (8)

где I_c — момент инерции тела относительно оси, проходящей через цент масс C, l — расстояние между центром масс и действительной осью вращения.

,

Обозначив

, (9) (20)

после подстановки (9) в (7) получаем интересующую нас формулу (1)

(1) (21)

Как уже отмечалось, величина l ₀ называется приведенной длиной физического маятника. Поскольку (1) совпадает с периодом свободных колебаний математического маятника длиной l ₀, то под приведенной длиной физического маятника понимается длина такого математического маятника, период свободных колебаний которого совпадает с периодом свободных колебаний данного физического маятника.

Если отложить от точки подвеса О вдоль прямой ОС отрезок ОО₁, длина которого равна приведенной длине физического маятника l _0, то точка О₁ станет центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений. Легко доказать (сделайте это самостоятельно), во-первых, что l ₀> l, т.е. точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс С, во-вторых, всем точкам подвеса одинаково удаленным от центра масс маятника С соответствует одна и та же приведенная длина, а следовательно один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в том смысле, что если маятник подвесить за ту или другую точку, то в соответствии с теоремой Гюйгенса периоды колебаний совпадут (докажите это самостоятельно). Точка подвеса и центр качания находятся по разные стороны от центра масс и расположены асимметрично относительного него (доказательство см. в [2, с.213]). Физический маятник, который можно подвешивать за любую из сопряженных точек называется оборотным. Существуют разнообразные конструкции оборотных маятников.