Сделать схематический чертеж.

Контрольная работа №1

Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры.

Вариант 1

1.1.1. Найти косинус угла между векторами и , если А(3; -2; 3); В(2; 0; 1), С(-2; 3; 1). Сделать чертеж.

Решение.

Найдем векторы и

и

и

Ответ: -

2.1.11 Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(-1; 0) точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

Решение

Пусть сторона AB квадрата ABCD лежит на прямой x+3у − 5=0. Тогда сторона CD лежит на прямой x+3y-m=0 (m - некоторое число), так как стороны параллельны. Две другие стороны AD и BC будут лежать на прямых вида 3х-у+n₁=0 и 3х-у+n₂=0, которые перпендикулярны прямым x+3у − 5=0 и x+3y-m=0.

Так как ABCD - квадрат, расстояние от точки пересечения диагоналей (1, 0) A − до всех его сторон, одинаково. Найдем его:

Теперь найдем неизвестные m, n₁, n₂, учитывая равенство расстояний от A до прямых:

, откуда , значит m=5 (прямая АВ), или m=-7, то есть уравнение прямой CD имеет вид x+3у +7=0.

, откуда , значит, n₁=9 и n₂=-3, стороны АD и BC будут лежать на прямых 3х-у+9=0 и 3х-у-3=0

Ответ: CD: x+3у +7=0; АD: 3х-у+9=0, BC: 3х-у-3=0

С

a) 5x+3y–z+2=0;

б) 5x-3y–z+1=0;

в) 5x+3y+2z-3=0;

г) –x+5y+3z=0;

д) 3х+5у–z–4=0.

Сделать схематический чертеж.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны.

а)Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x+3y–z+2=0; прямая и плоскость перпендикулярны.

б) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x-3y–z+1=0; прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

в) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5x+3y+2z-3=0; прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

г) Проверим условие перпендикулярности для плоскости –x+5y+3z=0; прямая и плоскость не являются перпендикулярными

д) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 3х+5у–z–4=0 прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

Схематический чертеж – перпендикулярность плоскости и прямой.