в гладкой цилиндрической трубе

Полагая суммарное касательное напряжение в потоке постоянной величиной и принимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запишем (5.38) в виде

. (5.43)

По мере приближения к стенке турбулентные пульсации затухают, напряжение τ _Т уменьшается и в непосредственной близости от стенки становится столь малым по сравнению с τ _μ , что в пределах пристеночного слоя можно принять τ ₀ =τ _μ .

По мере удаления от стенки роль турбулентных пульсаций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, значение τ _T многократно превосходит значение напряжения τ _μ , так что для этой области потока можно принять τ ₀ =τ _T.

Для пристеночной области потока (ламинарного подслоя),

, (5.44)

где τ _μ =const - напряжение трения на стенке трубы. Отсюда

Интегрируя это уравнение, получим

При y= 0, U= 0 постоянная интегрирования С =0. Таким образом, в ламинарном подслое распределение скорости носит линейный характер:

(5.45)

В области турбулентного течения

. (5.46)

Используя для длины пути перемешивания формулу Прандтля l=ϰ y, получим

, (5.47)

откуда

. (5.48)

Обозначая и интегрируя уравнение (5.48), находим

(5.49)

Для определения постоянной С используем условие на границе между турбулентным ядром потока и ламинарным подслоем: ; . Здесь δ _л – толщина ламинарного подслоя, а U_л – скорость на его границе.

Записывая уравнение (5.49) для границы ламинарного подслоя, получим

.

Отсюда

. (5.50)

Исходя из уравнения (5.45) для границы ламинарного подслоя, напишем

, так как

С учетом скорости U_* выражение для τ _μ / ρ можно представить в виде

или , (5.51)

где N - безразмерный комплекс, аналогичный по структуре числу Рейнольдса.

Из (5.51) толщина ламинарного подслоя

. (5.52)

Подставляя выражения (5.51 и (5.52) в (5.50), получим

, (5.53)

а подставляя (5.53) в (5.49), имеем

, или ,

где .

Величины 1/ϰ и можно определить опытным путем.

Так, из опытов И. И. Никурадзе получена формула, выражающая универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладких трубах:

. (5.54)

Положив в (5.54) y=r ₀, определим скорость на оси трубы :

. (5.55)

Зная закон распределения скоростей, можно найти величину коэффициента гидравлического трения. Для гидравлически гладких труб, исходя из формулы (5.54), можно записать для средней скорости потока

, (5.56)

где y_ср = 0, 223 U _* - расстояние от стенки до слоя, скорость в котором равна средней скорости U.

Ранее была получена зависимость

,

подставляя которую в (5.56), получим известную формулу Прандтля для коэффициента гидравлического трения в гладких трубах:

(5.57)

Недостаток формулы (5.57) в том, что связь λ и числа Re выражена в неявной форме. Этого недостатка нет, например, у эмпирической формулы Конакова

. (5.58)

Наряду с логарифмическими формулами существуют степенные. Например, широко применяется эмпирическая формула Блазиуса, пригодная при Re< 100000:

. (5.59)

Этой формуле отвечает степенное выражение для распределения скорости потока по сечению трубы (применение которой ограничено тем же условием):

, (5.60)

где у - расстояние от стенки трубы.

Это уравнение известно под названием закона Блазиуса.

Для максимальной скорости на оси трубы (y=r ₀)

. (5.61)

Из равенств (5.60) и (5.61) получим

.

Литература по содержанию лекции:

1. Чугаев Р. Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). - Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.

2. Штеренлихт Д. В. Гидравлика. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 640 с.